use a Definição 7.1 para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada de Laplace de
usando a Definição 7.1. Isso está na área de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática pra resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e fazer uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Então, para calcular
, vamos substituir
na fórmula.
Passo 3
Substituindo
na definição, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos juntar os expoentes de
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, temos que resolver a integral:
Essa é uma integral que envolve
multiplicado por uma exponencial. A gente pode usar a integração por partes para resolver isso.
Passo 6
Vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Passo 7
Aplicando a fórmula da integração por partes
, temos:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão anterior:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a
:
Vamos analisar cada termo:
- Quando
, se , então tende a zero. - Quando
, e .
Passo 11
Aplicando os limites:
Como
e
tendem a zero quando
, sobra:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de
é: