use a Definição 7.1 para calcular S(ft).
f(t) = t * e^(4 * t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada de Laplace de usando a Definição 7.1. Isso está na área de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática pra resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e fazer uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Então, para calcular , vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Substituindo na definição, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos juntar os expoentes de :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos que resolver a integral:
Essa é uma integral que envolve multiplicado por uma exponencial. A gente pode usar a integração por partes para resolver isso.

Passo 6

Vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:

Passo 7

Aplicando a fórmula da integração por partes , temos:

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão anterior:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a :
Vamos analisar cada termo:
  1. Quando , se , então tende a zero.
  2. Quando , e .

Passo 11

Aplicando os limites:
Como e tendem a zero quando , sobra:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados