Considere o seguinte sinal periódico
x(t)=2+cos (2 pi3 t)+4 sin (5 pi3 t)
Determine a frequência fundamental omega0 e os coeficientes ak tal que x(t)=sumk=-infty^infty ak e^j k omega0 t.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sinal periódico dado por:
x(t) = 2 + cos(2pi3 t) + 4 sin(5pi3 t)
O objetivo é determinar a frequência fundamental omega0 e os coeficientes ak para que o sinal possa ser representado como uma soma de exponenciais complexas:
x(t) = sumk=-infty^infty ak e^j k omega0 t
Para isso, vamos precisar entender de séries de Fourier para sinais periódicos e como identificar a frequência fundamental e os harmônicos que compõem o sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência fundamental omega0. A frequência fundamental é a menor frequência que compõe o sinal e determina o período T do sinal.
Observando os termos do sinal:
  • O primeiro termo constante é 2, que tem frequência zero.
  • O segundo termo é cos(2pi3 t).
  • O terceiro termo é 4 sin(5pi3 t).
Vamos identificar as frequências desses termos:
Para cos(2pi3 t), a frequência angular é 2pi3 rad/s.
Para 4 sin(5pi3 t), a frequência angular é 5pi3 rad/s.
Agora, para encontrar a frequência fundamental, precisamos encontrar o menor múltiplo comum dessas frequências.

Passo 3

Vamos comparar as frequências angulares:
  • 2pi3 rad/s
  • 5pi3 rad/s
Podemos ver que ambas as frequências são múltiplos de pi3 rad/s.
Portanto, a frequência fundamental omega0 é pi3 rad/s, pois é o menor múltiplo comum.

Passo 4

Agora que temos a frequência fundamental omega0 = pi3 rad/s, vamos identificar os harmônicos presentes no sinal.
Os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Vamos dividir as frequências dos termos pelo omega0 para encontrar quais harmônicos estão presentes:
  • Para cos(2pi3 t):
    2pi3pi3 = 2
    Então, este é o 2º harmônico.
  • Para 4 sin(5pi3 t):
    5pi3pi3 = 5
    Então, este é o 5º harmônico.

Passo 5

Agora, vamos expressar cada termo do sinal na forma de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler:
cos(k omega0 t) = e^j k omega0 t + e^-j k omega0 t2
sin(k omega0 t) = e^j k omega0 t - e^-j k omega0 t2j
Aplicando isso aos termos do sinal:
  • Para 2, que é uma constante, corresponde ao termo k=0.
  • Para cos(2 omega0 t):
    cos(2 omega0 t) = e^j 2 omega0 t + e^-j 2 omega0 t2
  • Para 4 sin(5 omega0 t):
    4 sin(5 omega0 t) = 4 (e^j 5 omega0 t - e^-j 5 omega0 t2j)

Passo 6

Simplificando os termos:
  • O termo constante permanece como 2.
  • Para 2 cos(2 omega0 t):
    2 cdot e^j 2 omega0 t + e^-j 2 omega0 t2 = e^j 2 omega0 t + e^-j 2 omega0 t
  • Para 4 sin(5 omega0 t):
    4 cdot e^j 5 omega0 t - e^-j 5 omega0 t2j = 42j (e^j 5 omega0 t - e^-j 5 omega0 t) = 2j (e^j 5 omega0 t - e^-j 5 omega0 t)

Passo 7

Agora, vamos reorganizar o sinal completo na forma de soma de exponenciais:
x(t) = 2 + e^j 2 omega0 t + e^-j 2 omega0 t + 2j e^j 5 omega0 t - 2j e^-j 5 omega0 t
Comparando com a forma geral:
x(t) = sumk=-infty^infty ak e^j k omega0 t
Podemos identificar os coeficientes ak.

Passo 8

Identificando os coeficientes ak para cada termo:
  • Para k=0:
    a0 = 2
  • Para k=2:
    a2 = 1
  • Para k=-2:
    a-2 = 1
  • Para k=5:
    a5 = 2j = -2j
  • Para k=-5:
    a-5 = -2j = 2j
Os demais coeficientes ak são zero, já que não há outros termos no sinal original.

Resposta

A frequência fundamental é omega0 = pi3 rad/s e os coeficientes ak são:
a0 = 2, apm2 = 1, apm5 = mp 2j
E ak = 0 para todos os outros valores de k.

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