Considere o seguinte sinal periódico
Determine a frequência fundamental e os coeficientes tal que .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sinal periódico dado por:
O objetivo é determinar a frequência fundamental e os coeficientes para que o sinal possa ser representado como uma soma de exponenciais complexas:
Para isso, vamos precisar entender de séries de Fourier para sinais periódicos e como identificar a frequência fundamental e os harmônicos que compõem o sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência fundamental . A frequência fundamental é a menor frequência que compõe o sinal e determina o período T do sinal.
Observando os termos do sinal:
  • O primeiro termo constante é , que tem frequência zero.
  • O segundo termo é .
  • O terceiro termo é .
Vamos identificar as frequências desses termos:
Para , a frequência angular é rad/s.
Para , a frequência angular é rad/s.
Agora, para encontrar a frequência fundamental, precisamos encontrar o menor múltiplo comum dessas frequências.

Passo 3

Vamos comparar as frequências angulares:
  • rad/s
  • rad/s
Podemos ver que ambas as frequências são múltiplos de rad/s.
Portanto, a frequência fundamental é rad/s, pois é o menor múltiplo comum.

Passo 4

Agora que temos a frequência fundamental rad/s, vamos identificar os harmônicos presentes no sinal.
Os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Vamos dividir as frequências dos termos pelo para encontrar quais harmônicos estão presentes:
  • Para :

    Então, este é o 2º harmônico.
  • Para :

    Então, este é o 5º harmônico.

Passo 5

Agora, vamos expressar cada termo do sinal na forma de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler:
Aplicando isso aos termos do sinal:
  • Para , que é uma constante, corresponde ao termo .
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Simplificando os termos:
  • O termo constante permanece como .
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, vamos reorganizar o sinal completo na forma de soma de exponenciais:
Comparando com a forma geral:
Podemos identificar os coeficientes .

Passo 8

Identificando os coeficientes para cada termo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Os demais coeficientes são zero, já que não há outros termos no sinal original.

Resposta

A frequência fundamental é rad/s e os coeficientes são:
E para todos os outros valores de .

Exercícios relacionados

Calcule .
a.
b. 0
c.
d.
e.
Determine de modo que o limite exista. Para esse valor de calcule este limite. valor do limite anterior será:
a.
b. 65
c.
d.
e.
Considere um sinal periódico , com período . No intervalo o sinal é definido como
Determine a expressão para os coeficientes da representação de por Série de Fourier.
Sabendo que , então é:
a.
b.
c. e
d. 1
e. 0