Considere o seguinte sinal periódico
Determine a frequência fundamental
e os coeficientes
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sinal periódico dado por:
O objetivo é determinar a frequência fundamental
e os coeficientes
para que o sinal possa ser representado como uma soma de exponenciais complexas:
Para isso, vamos precisar entender de séries de Fourier para sinais periódicos e como identificar a frequência fundamental e os harmônicos que compõem o sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a frequência fundamental
. A frequência fundamental é a menor frequência que compõe o sinal e determina o período T do sinal.
Observando os termos do sinal:
- O primeiro termo constante é
, que tem frequência zero. - O segundo termo é
. - O terceiro termo é
.
Vamos identificar as frequências desses termos:
Para
, a frequência angular é
rad/s.
Para
, a frequência angular é
rad/s.
Agora, para encontrar a frequência fundamental, precisamos encontrar o menor múltiplo comum dessas frequências.
Passo 3
Vamos comparar as frequências angulares:
-
rad/s -
rad/s
Podemos ver que ambas as frequências são múltiplos de
rad/s.
Portanto, a frequência fundamental
é
rad/s, pois é o menor múltiplo comum.
Passo 4
Agora que temos a frequência fundamental
rad/s, vamos identificar os harmônicos presentes no sinal.
Os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Vamos dividir as frequências dos termos pelo
para encontrar quais harmônicos estão presentes:
-
Para
:
Então, este é o 2º harmônico. -
Para
:
Então, este é o 5º harmônico.
Passo 5
Agora, vamos expressar cada termo do sinal na forma de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler:
Aplicando isso aos termos do sinal:
-
Para
, que é uma constante, corresponde ao termo . -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Simplificando os termos:
-
O termo constante permanece como
. -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar o sinal completo na forma de soma de exponenciais:
Comparando com a forma geral:
Podemos identificar os coeficientes
.
Passo 8
Identificando os coeficientes
para cada termo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Os demais coeficientes
são zero, já que não há outros termos no sinal original.
Resposta
A frequência fundamental é
rad/s e os coeficientes
são:
E
para todos os outros valores de
.