Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a forma trigonométrica dos números complexos para mostrar que
. A gente vai precisar entender como transformar números complexos para a forma trigonométrica e depois fazer as contas certinhas pra chegar nessa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a forma trigonométrica de um número complexo. Qualquer número complexo
pode ser escrito como , onde:
-
é o módulo de , -
é o argumento de .
Passo 3
Vamos transformar os números envolvidos na fração
para a forma trigonométrica.
Primeiro, o numerador:
.
- Aqui,
e . - Módulo:
. - Argumento:
(90 graus).
Então, .
Passo 4
Agora, o denominador:
.
- Aqui,
e . - Módulo:
. - Argumento:
.
Então, .
Passo 5
Agora, vamos dividir os dois números complexos na forma trigonométrica:
.
Quando dividimos números complexos na forma trigonométrica, os módulos se dividem e os argumentos subtraem:
.
Então:
.
Passo 6
Vamos simplificar
. Sabemos que
, então:
Isso porque
.
Portanto:
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
e .
Se
, então:
-
. - O lado adjacente é 1, oposto é 2, e a hipotenusa é
.
Então:
-
, - .
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, demonstramos que
usando a forma trigonométrica dos números complexos.
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Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
;
Sabendo que a média temporal do valor
num intervalo
é dada por
calcule o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico em um período de oscilação. Sugestão: Utilize as expressões
e
para o cálculo das integrais.
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(b)
(b)