Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades: 5 i2+imath=1+2 imath;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a forma trigonométrica dos números complexos para mostrar que 5i2+imath = 1+2imath. A gente vai precisar entender como transformar números complexos para a forma trigonométrica e depois fazer as contas certinhas pra chegar nessa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a forma trigonométrica de um número complexo. Qualquer número complexo z = a + bimath pode ser escrito como , onde:
  • z = r(costheta + imathsentheta) é o módulo de r = raiza^2 + b^2,
  • z é o argumento de theta = arctan(ba).

Passo 3

Vamos transformar os números envolvidos na fração 5i2+imath para a forma trigonométrica.
Primeiro, o numerador: 5i.
  • Aqui, a = 0 e b = 5.
  • Módulo: r = raiz0^2 + 5^2 = 5.
  • Argumento: theta = arctan(50) = pi2 (90 graus).
Então, .

Passo 4

Agora, o denominador: 2+imath.
  • Aqui, a = 2 e b = 1.
  • Módulo: r = raiz2^2 + 1^2 = raiz5.
  • Argumento: theta = arctan(12).
Então, .

Passo 5

Agora, vamos dividir os dois números complexos na forma trigonométrica:
.
Quando dividimos números complexos na forma trigonométrica, os módulos se dividem e os argumentos subtraem:
.
Então:
.

Passo 6

Vamos simplificar pi2 - arctan12. Sabemos que arctan12 = theta, então:
pi2 - theta = arctan(2).
Isso porque tan(pi2 - theta) = cottheta = 2.
Portanto:
.

Passo 7

Agora, vamos encontrar cosarctan 2 e .
Se senarctan 2, então:
  • theta = arctan 2.
  • O lado adjacente é 1, oposto é 2, e a hipotenusa é tantheta = 2 = opostoadjacente = 21.
Então:
  • raiz1^2 + 2^2 = raiz5,
  • .

Passo 8

Substituindo de volta:
raiz5 [1raiz5 + imath2raiz5] = raiz5 cdot 1 + 2imathraiz5 = 1 + 2imath.

Resposta

Portanto, demonstramos que 5i2+imath = 1 + 2imath usando a forma trigonométrica dos números complexos.

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