Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a forma trigonométrica dos números complexos para mostrar que . A gente vai precisar entender como transformar números complexos para a forma trigonométrica e depois fazer as contas certinhas pra chegar nessa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a forma trigonométrica de um número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como , onde:
  • é o módulo de ,
  • é o argumento de .

Passo 3

Vamos transformar os números envolvidos na fração para a forma trigonométrica.
Primeiro, o numerador: .
  • Aqui, e .
  • Módulo: .
  • Argumento: (90 graus).
Então, .

Passo 4

Agora, o denominador: .
  • Aqui, e .
  • Módulo: .
  • Argumento: .
Então, .

Passo 5

Agora, vamos dividir os dois números complexos na forma trigonométrica:
.
Quando dividimos números complexos na forma trigonométrica, os módulos se dividem e os argumentos subtraem:
.
Então:
.

Passo 6

Vamos simplificar . Sabemos que , então:
.
Isso porque .
Portanto:
.

Passo 7

Agora, vamos encontrar e .
Se , então:
  • .
  • O lado adjacente é 1, oposto é 2, e a hipotenusa é .
Então:
  • ,
  • .

Passo 8

Substituindo de volta:
.

Resposta

Portanto, demonstramos que usando a forma trigonométrica dos números complexos.

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(b)