Considerando as matrizes
e
determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tipo de cada matriz resultante.
a)
;
b)
;
c)
d)
e)
f)
;
g)
;
h)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre matrizes com dimensões específicas e pede para verificar se certas operações entre elas estão definidas. O conteúdo principal aqui é álgebra de matrizes, focando em multiplicação e soma de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de como multiplicar e somar matrizes, principalmente observando as dimensões de cada uma.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos relembrar algumas regrinhas importantes:
-
Soma de Matrizes: Para somar duas matrizes, elas precisam ter exatamente as mesmas dimensões. Ou seja, o número de linhas e colunas de uma devem ser iguais às da outra.
-
Multiplicação de Matrizes: Para multiplicar duas matrizes
e , o número de colunas da primeira ( ) precisa ser igual ao número de linhas da segunda ( ). O resultado será uma matriz com as linhas da primeira e as colunas da segunda, ou seja, . -
Transposta de uma Matriz: A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Se
é , então será .
Passo 3
Vamos analisar cada item do exercício:
a)
- Dimensões:
é e é . - Multiplicação: Para multiplicar
, o número de colunas de (5) deveria ser igual ao número de linhas de (4). Não é igual. - Conclusão: Não definida.
b)
- Dimensões:
-
: é e é . Multiplicando, dá . -
é .
-
- Soma: As dimensões são iguais (
), então a soma está definida. - Tipo da Matriz Resultante:
.
c)
- Dimensões:
-
: é e é . Multiplicando, dá . -
é .
-
- Soma: As dimensões são diferentes (
vs ). Não definida.
d)
- Dimensões:
-
: é e é . Para multiplicar, as colunas de (5) deveriam igualar as linhas de (4). Não é igual.
-
- Conclusão: Não definida.
e)
- Dimensões:
-
e são ambas . A soma é . -
é . Para multiplicar por , as colunas de (4) precisam igualar as linhas de (4). Isso funciona!
-
- Multiplicação Resultante:
. - Tipo da Matriz Resultante:
.
f)
- Dimensões:
-
: é e é . Multiplicando, dá . -
é . Para multiplicar por , as colunas de (4) precisam igualar as linhas de (4). Isso funciona!
-
- Multiplicação Resultante:
. - Tipo da Matriz Resultante:
.
g)
- Dimensões:
-
é (transposta de ). -
é . Para multiplicar por , as colunas de (5) precisam igualar as linhas de (4). Não é igual.
-
- Conclusão: Não definida.
h)
- Dimensões:
-
é . -
é . A soma é . -
é . Para multiplicar por , as colunas de (4) precisam igualar as linhas de (4). Isso funciona!
-
- Multiplicação Resultante:
. - Tipo da Matriz Resultante:
.
Resposta
a) Não definida.
b) Definida, resultante é uma matriz
.
c) Não definida.
d) Não definida.
e) Definida, resultante é uma matriz
.
f) Definida, resultante é uma matriz
.
g) Não definida.
h) Definida, resultante é uma matriz
.