Considerando as matrizes A4 times 5, B4 times 5, C5 times 2, D4 times 2 e E5 times 4 determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tipo de cada matriz resultante.
a) B A;
b) A C+D;
c) A E+B
d) A B+B
e) E(A+B)
f) E(A C);
g) E^t A;
h) (A^t+E) D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre matrizes com dimensões específicas e pede para verificar se certas operações entre elas estão definidas. O conteúdo principal aqui é álgebra de matrizes, focando em multiplicação e soma de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de como multiplicar e somar matrizes, principalmente observando as dimensões de cada uma.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos relembrar algumas regrinhas importantes:
  1. Soma de Matrizes: Para somar duas matrizes, elas precisam ter exatamente as mesmas dimensões. Ou seja, o número de linhas e colunas de uma devem ser iguais às da outra.
  2. Multiplicação de Matrizes: Para multiplicar duas matrizes e , o número de colunas da primeira ( ) precisa ser igual ao número de linhas da segunda ( ). O resultado será uma matriz com as linhas da primeira e as colunas da segunda, ou seja, .
  3. Transposta de uma Matriz: A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Se é , então será .

Passo 3

Vamos analisar cada item do exercício:
a)
  • Dimensões: é e é .
  • Multiplicação: Para multiplicar , o número de colunas de (5) deveria ser igual ao número de linhas de (4). Não é igual.
  • Conclusão: Não definida.
b)
  • Dimensões:
    • : é e é . Multiplicando, dá .
    • é .
  • Soma: As dimensões são iguais ( ), então a soma está definida.
  • Tipo da Matriz Resultante: .
c)
  • Dimensões:
    • : é e é . Multiplicando, dá .
    • é .
  • Soma: As dimensões são diferentes ( vs ). Não definida.
d)
  • Dimensões:
    • : é e é . Para multiplicar, as colunas de (5) deveriam igualar as linhas de (4). Não é igual.
  • Conclusão: Não definida.
e)
  • Dimensões:
    • e são ambas . A soma é .
    • é . Para multiplicar por , as colunas de (4) precisam igualar as linhas de (4). Isso funciona!
  • Multiplicação Resultante: .
  • Tipo da Matriz Resultante: .
f)
  • Dimensões:
    • : é e é . Multiplicando, dá .
    • é . Para multiplicar por , as colunas de (4) precisam igualar as linhas de (4). Isso funciona!
  • Multiplicação Resultante: .
  • Tipo da Matriz Resultante: .
g)
  • Dimensões:
    • é (transposta de ).
    • é . Para multiplicar por , as colunas de (5) precisam igualar as linhas de (4). Não é igual.
  • Conclusão: Não definida.
h)
  • Dimensões:
    • é .
    • é . A soma é .
    • é . Para multiplicar por , as colunas de (4) precisam igualar as linhas de (4). Isso funciona!
  • Multiplicação Resultante: .
  • Tipo da Matriz Resultante: .

Resposta

a) Não definida.
b) Definida, resultante é uma matriz .
c) Não definida.
d) Não definida.
e) Definida, resultante é uma matriz .
f) Definida, resultante é uma matriz .
g) Não definida.
h) Definida, resultante é uma matriz .

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