Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcule (u+v) cdot(v-4 u).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem dois vetores, e , com os comprimentos e . Além disso, o produto escalar entre eles é . A gente precisa calcular . Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e algumas operações básicas com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (u + v) cdot (v - 4u) = u cdot v + u cdot (-4u) + v cdot v + v cdot (-4u) usando a distributividade do produto escalar. A distributividade nos permite multiplicar cada termo do primeiro vetor pelo segundo vetor.
u cdot v - 4u cdot u + v cdot v - 4v cdot u
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos substituir os produtos escalares conhecidos. Sabemos que -1 - 4|u|^2 + |v|^2 - 4(-1) , e também que o produto de um vetor consigo mesmo é o quadrado do seu comprimento, ou seja, e .
Então, substituindo:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores dos comprimentos dos vetores:
-1 - 4(2)^2 + (3)^2 - 4(-1)
Calculando cada termo:
-1 - 4(4) + 9 + 4
-1 - 16 + 9 + 4

Passo 5

Finalmente, somando tudo:
-1 - 16 = -17
-17 + 9 = -8
-8 + 4 = -4

Resposta

(u + v) cdot (v - 4u) = -4

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