Resolva pela regra de Cramer e da Inversa os sistemas de equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando duas técnicas: a Regra de Cramer e a Matriz Inversa. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender determinantes de matrizes (para a Regra de Cramer) e como calcular a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações em forma de matriz. Nosso sistema é:
x + 2y + 3z = 17 3x + 2y + z = 11 x - 5y + z = -5
A matriz dos coeficientes (A) fica:
A = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & -5 & 1
E o vetor dos termos constantes (B) é:
B = 17 11 -5
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de Cramer. Essa regra funciona para sistemas quadrados (mesmo número de equações e incógnitas) e quando o determinante da matriz dos coeficientes não é zero.
Primeiro, precisamos calcular o determinante de A, que chamaremos de det(A).
Passo 4
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para nossa matriz A:
A = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & -5 & 1
Então:
det(A) = 1 times (2 times 1 - 1 times (-5)) - 2 times (3 times 1 - 1 times 1) + 3 times (3 times (-5) - 2 times 1)
det(A) = 1 times (2 + 5) - 2 times (3 - 1) + 3 times (-15 - 2)
det(A) = 7 - 4 - 51 = -48
Passo 5
Agora, vamos encontrar os determinantes para x, y e z substituindo a coluna correspondente pelo vetor B.
Para Ax = 17 & 2 & 3 11 & 2 & 1 -5 & -5 & 1 , substituímos a primeira coluna por B:
det(Ax) = 17 times (2 times 1 - 1 times (-5)) - 2 times (11 times 1 - 1 times (-5)) + 3 times (11 times (-5) - 2 times (-5))
Calculando det(Ax) = 17 times (2 + 5) - 2 times (11 + 5) + 3 times (-55 + 10) :
det(Ax) = 17 times 7 - 2 times 16 + 3 times (-45) = 119 - 32 - 135 = -48
Ay = 1 & 17 & 3 3 & 11 & 1 1 & -5 & 1
det(Ay) = 1 times (11 times 1 - 1 times (-5)) - 17 times (3 times 1 - 1 times 1) + 3 times (3 times (-5) - 11 times 1)
Para det(Ay) = 1 times (11 + 5) - 17 times (3 - 1) + 3 times (-15 -11) , substituímos a segunda coluna por B:
det(Az) = 1 times (2 times (-5) - 11 times (-5)) - 2 times (3 times (-5) - 11 times 1) + 17 times (3 times (-5) - 2 times 1)
det(Az) = 1 times (-10 + 55) - 2 times (-15 -11) + 17 times (-15 -2)
det(Az) = 45 - 2 times (-26) + 17 times (-17) = 45 + 52 - 289 = -192
Para , substituímos a terceira coluna por B:
Calculando :
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as variáveis:
x = det(Ax)det(A) = -48-48 = 1
y = det(Ay)det(A) = -96-48 = 2
z = det(Az)det(A) = -192-48 = 4
Passo 7
Vamos agora resolver o mesmo sistema usando a Matriz Inversa. A ideia aqui é encontrar a inversa da matriz dos coeficientes (A⁻¹) e multiplicá-la pelo vetor dos termos constantes (B).
Primeiro, confirmamos que não é zero (já vimos que é -48), então a inversa existe.
Passo 8
Para encontrar a inversa de A, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular os cofatores de A.
Passo 9
Calculando os cofatores:
Para cada elemento M11 = 2 & 1 -5 & 1 = (2)(1) - (1)(-5) = 2 + 5 = 7 de A, o cofator M12 = 3 & 1 1 & 1 = (3)(1) - (1)(1) = 3 - 1 = 2 , onde M13 = 3 & 2 1 & -5 = (3)(-5) - (2)(1) = -15 - 2 = -17 é o menor complementar.