Resolva pela regra de Cramer e da Inversa os sistemas de equações abaixo:
lx+2 y+3 z=17 3 x+2 y+z=11 x-5 y+z=-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando duas técnicas: a Regra de Cramer e a Matriz Inversa. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender determinantes de matrizes (para a Regra de Cramer) e como calcular a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações em forma de matriz. Nosso sistema é:
x + 2y + 3z = 17 3x + 2y + z = 11 x - 5y + z = -5
A matriz dos coeficientes (A) fica:
A = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & -5 & 1
E o vetor dos termos constantes (B) é:
B = 17 11 -5

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de Cramer. Essa regra funciona para sistemas quadrados (mesmo número de equações e incógnitas) e quando o determinante da matriz dos coeficientes não é zero.
Primeiro, precisamos calcular o determinante de A, que chamaremos de det(A).

Passo 4

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para nossa matriz A:
A = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & -5 & 1
Então:
det(A) = 1 times (2 times 1 - 1 times (-5)) - 2 times (3 times 1 - 1 times 1) + 3 times (3 times (-5) - 2 times 1)
det(A) = 1 times (2 + 5) - 2 times (3 - 1) + 3 times (-15 - 2)
det(A) = 7 - 4 - 51 = -48

Passo 5

Agora, vamos encontrar os determinantes para x, y e z substituindo a coluna correspondente pelo vetor B.
Para Ax = 17 & 2 & 3 11 & 2 & 1 -5 & -5 & 1 , substituímos a primeira coluna por B:
det(Ax) = 17 times (2 times 1 - 1 times (-5)) - 2 times (11 times 1 - 1 times (-5)) + 3 times (11 times (-5) - 2 times (-5))
Calculando det(Ax) = 17 times (2 + 5) - 2 times (11 + 5) + 3 times (-55 + 10) :
det(Ax) = 17 times 7 - 2 times 16 + 3 times (-45) = 119 - 32 - 135 = -48
Ay = 1 & 17 & 3 3 & 11 & 1 1 & -5 & 1
det(Ay) = 1 times (11 times 1 - 1 times (-5)) - 17 times (3 times 1 - 1 times 1) + 3 times (3 times (-5) - 11 times 1)
Para det(Ay) = 1 times (11 + 5) - 17 times (3 - 1) + 3 times (-15 -11) , substituímos a segunda coluna por B:
det(Ay) = 16 - 34 + 3 times (-26) = 16 - 34 - 78 = -96
Calculando Az = 1 & 2 & 17 3 & 2 & 11 1 & -5 & -5 :
det(Az) = 1 times (2 times (-5) - 11 times (-5)) - 2 times (3 times (-5) - 11 times 1) + 17 times (3 times (-5) - 2 times 1)
det(Az) = 1 times (-10 + 55) - 2 times (-15 -11) + 17 times (-15 -2)
det(Az) = 45 - 2 times (-26) + 17 times (-17) = 45 + 52 - 289 = -192
Para , substituímos a terceira coluna por B:
Calculando :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as variáveis:
x = det(Ax)det(A) = -48-48 = 1
y = det(Ay)det(A) = -96-48 = 2
z = det(Az)det(A) = -192-48 = 4

Passo 7

Vamos agora resolver o mesmo sistema usando a Matriz Inversa. A ideia aqui é encontrar a inversa da matriz dos coeficientes (A⁻¹) e multiplicá-la pelo vetor dos termos constantes (B).
Primeiro, confirmamos que não é zero (já vimos que é -48), então a inversa existe.

Passo 8

Para encontrar a inversa de A, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular os cofatores de A.

Passo 9

Calculando os cofatores:
Para cada elemento M11 = 2 & 1 -5 & 1 = (2)(1) - (1)(-5) = 2 + 5 = 7 de A, o cofator M12 = 3 & 1 1 & 1 = (3)(1) - (1)(1) = 3 - 1 = 2 , onde M13 = 3 & 2 1 & -5 = (3)(-5) - (2)(1) = -15 - 2 = -17 é o menor complementar.
Calculando os menores complementares:
M21 = 2 & 3 -5 & 1 = (2)(1) - (3)(-5) = 2 + 15 = 17
M22 = 1 & 3 1 & 1 = (1)(1) - (3)(1) = 1 - 3 = -2
M23 = 1 & 2 1 & -5 = (1)(-5) - (2)(1) = -5 - 2 = -7
M31 = 2 & 3 2 & 1 = (2)(1) - (3)(2) = 2 - 6 = -4
M32 = 1 & 3 3 & 1 = (1)(1) - (3)(3) = 1 - 9 = -8
M33 = 1 & 2 3 & 2 = (1)(2) - (2)(3) = 2 - 6 = -4
C11 = (+1) times 7 = 7
C12 = (-1) times 2 = -2
C13 = (+1) times (-17) = -17
Agora, aplicamos os sinais:
C21 = (-1) times 17 = -17
C22 = (+1) times (-2) = -2
C23 = (-1) times (-7) = 7
C31 = (+1) times (-4) = -4
C32 = (-1) times (-8) = 8
C33 = (+1) times (-4) = -4

Passo 10

Agora, a adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = C11 & C21 & C31 C12 & C22 & C32 C13 & C23 & C33 = 7 & -17 & -4 -2 & -2 & 8 -17 & 7 & -4
Então, a inversa de A é:
A^-1 = 1-48 times 7 & -17 & -4 -2 & -2 & 8 -17 & 7 & -4 = -748 & 1748 & 448 248 & 248 & -848 1748 & -748 & 448
Simplificando as frações:
A^-1 = -748 & 1748 & 112 124 & 124 & -16 1748 & -748 & 112

Passo 11

Agora, multiplicamos a inversa de A pelo vetor B para encontrar as soluções:
x y z = A^-1 times B = -748 & 1748 & 112 124 & 124 & -16 1748 & -748 & 112 times 17 11 -5
Calculando cada variável:
Para x = -748 times 17 + 1748 times 11 + 112 times (-5) = -11948 + 18748 - 512 = 6848 - 2048 = 4848 = 1 :
y = 124 times 17 + 124 times 11 - 16 times (-5) = 1724 + 1124 + 56 = 2824 + 2024 = 4824 = 2
Para z = 1748 times 17 - 748 times 11 + 112 times (-5) = 28948 - 7748 - 512 = 21248 - 2048 = 19248 = 4 :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1, y = 2, z = 4

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