Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
A=[cc 2 & 5 0 & 6 ] ; B=[cc 2 & 4 3 & 5 ] ; C=[cc 1 & 3 2 & 5 ] ; D=[cc 0 & 4 1 & 3 ]
(A otimes B)^prime, e verifique que é igual a A^prime otimes B^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem quatro matrizes A, B, C e D, todas 2x2. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a transposta do produto de Kronecker de A e B, ou seja, , e depois verificar se isso é igual ao produto de Kronecker das transpostas de A e B, que é . Vamos precisar lembrar um pouco sobre produtos de Kronecker e transposição de matrizes para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é o produto de Kronecker. Se a gente tem duas matrizes a & b c & d e e & f g & h , o produto de Kronecker A otimes B = aB & bB cB & dB = ae & af & be & bf ag & ah & bg & bh ce & cf & de & df cg & ch & dg & dh resulta em uma matriz 4x4 onde cada elemento de A é multiplicado pela matriz B. Assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular A = 2 & 5 0 & 6 , B = 2 & 4 3 & 5 usando os valores das matrizes A e B que a gente tem:
A otimes B = 2 cdot B & 5 cdot B 0 cdot B & 6 cdot B = 4 & 8 & 10 & 20 6 & 10 & 15 & 25 0 & 0 & 12 & 24 0 & 0 & 18 & 30
Aplicando o produto de Kronecker:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a transposta dessa matriz (A otimes B)^prime = 4 & 6 & 0 & 0 8 & 10 & 0 & 0 10 & 15 & 12 & 18 20 & 25 & 24 & 30 . A transposta de uma matriz é basicamente trocar as linhas pelas colunas. Então, aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos calcular as transpostas de A e B separadamente:
A^prime = 2 & 0 5 & 6 , B^prime = 2 & 3 4 & 5

Passo 6

Em seguida, aplicamos o produto de Kronecker nas transpostas A^prime otimes B^prime = 2 cdot B^prime & 0 cdot B^prime 5 cdot B^prime & 6 cdot B^prime = 4 & 6 & 0 & 0 8 & 10 & 0 & 0 10 & 15 & 12 & 18 20 & 25 & 24 & 30 :

Resposta

Conseguimos ver que (A otimes B)^prime = A^prime otimes B^prime = 4 & 6 & 0 & 0 8 & 10 & 0 & 0 10 & 15 & 12 & 18 20 & 25 & 24 & 30 é igual a :

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