Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
, e verifique que é igual a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem quatro matrizes A, B, C e D, todas 2x2. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a transposta do produto de Kronecker de A e B, ou seja, , e depois verificar se isso é igual ao produto de Kronecker das transpostas de A e B, que é . Vamos precisar lembrar um pouco sobre produtos de Kronecker e transposição de matrizes para fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é o produto de Kronecker. Se a gente tem duas matrizes e , o produto de Kronecker resulta em uma matriz 4x4 onde cada elemento de A é multiplicado pela matriz B. Assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular A = 2 & 5 0 & 6 , B = 2 & 4 3 & 5 usando os valores das matrizes A e B que a gente tem:
A otimes B = 2 cdot B & 5 cdot B 0 cdot B & 6 cdot B = 4 & 8 & 10 & 20 6 & 10 & 15 & 25 0 & 0 & 12 & 24 0 & 0 & 18 & 30
Aplicando o produto de Kronecker:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a transposta dessa matriz (A otimes B)^prime = 4 & 6 & 0 & 0 8 & 10 & 0 & 0 10 & 15 & 12 & 18 20 & 25 & 24 & 30 . A transposta de uma matriz é basicamente trocar as linhas pelas colunas. Então, aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos calcular as transpostas de A e B separadamente: