Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é 45,9 times 10^9 m e o afélio 69,8 times 10^9 m encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá as distâncias do periélio e do afélio de Mercúrio, que são metros e metros, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir quão rápido Mercúrio está se movendo nessas duas posições. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Conservação da Energia e a Lei da Conservação do Momento Angular, que são fundamentais na física para entender movimentos de corpos celestes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são periélio e afélio. O periélio é o ponto da órbita onde o planeta está mais próximo do Sol, e o afélio é onde está mais distante. A diferença de distância faz com que a velocidade de Mercúrio varie nesses pontos.

Passo 3

Para calcular a velocidade, vamos usar a Equação de Vis-Viva, que relaciona a velocidade de um corpo em uma órbita com a distância ao foco (no caso, o Sol) e o semi-eixo maior da órbita. A fórmula é:
v = raizmu ( 2r - 1a )
Onde:
  • é a velocidade do planeta,
  • (constante gravitacional vezes a massa do Sol),
  • é a distância do planeta ao Sol no ponto considerado (periélio ou afélio),
  • é o semi-eixo maior da órbita.

Passo 4

Vamos calcular o semi-eixo maior ( a = rp + ra2 = 45,9 times 10^9 , m + 69,8 times 10^9 , m2 = 57,85 times 10^9 , m ) da órbita de Mercúrio. Ele é a média das distâncias do periélio ( ) e do afélio ( ):

Passo 5

Agora, precisamos saber o valor de mu = G cdot M = 6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^30 = 1,327 times 10^20 , m^3/s^2 . A constante gravitacional é aproximadamente e a massa do Sol é cerca de . Então:

Passo 6

Vamos calcular a velocidade no periélio ( vp = raiz1,327 times 10^20 ( 245,9 times 10^9 - 157,85 times 10^9 ) ) usando a Equação de Vis-Viva:
245,9 times 10^9 = 4,356 times 10^-11 157,85 times 10^9 = 1,729 times 10^-11
Primeiro, calculamos os termos dentro da raiz:
4,356 times 10^-11 - 1,729 times 10^-11 = 2,627 times 10^-11
Subtraindo:
1,327 times 10^20 times 2,627 times 10^-11 = 3,485 times 10^9
Agora, multiplicamos por vp = raiz3,485 times 10^9 approx 59.04 times 10^3 , m/s :
Finalmente, a raiz quadrada:

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade no afélio ( va = raiz1,327 times 10^20 ( 269,8 times 10^9 - 157,85 times 10^9 ) ) da mesma forma:
269,8 times 10^9 = 2,866 times 10^-11 157,85 times 10^9 = 1,729 times 10^-11
Calculando os termos dentro da raiz:
2,866 times 10^-11 - 1,729 times 10^-11 = 1,137 times 10^-11
Subtraindo:
1,327 times 10^20 times 1,137 times 10^-11 = 1,508 times 10^9
Multiplicando por va = raiz1,508 times 10^9 approx 38,83 times 10^3 , m/s :
Raiz quadrada:

Resposta

A velocidade de Mercúrio no periélio é aproximadamente e no afélio é cerca de .

Exercícios relacionados