Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é e o afélio encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá as distâncias do periélio e do afélio de Mercúrio, que são metros e metros, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir quão rápido Mercúrio está se movendo nessas duas posições. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Conservação da Energia e a Lei da Conservação do Momento Angular, que são fundamentais na física para entender movimentos de corpos celestes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são periélio e afélio. O periélio é o ponto da órbita onde o planeta está mais próximo do Sol, e o afélio é onde está mais distante. A diferença de distância faz com que a velocidade de Mercúrio varie nesses pontos.

Passo 3

Para calcular a velocidade, vamos usar a Equação de Vis-Viva, que relaciona a velocidade de um corpo em uma órbita com a distância ao foco (no caso, o Sol) e o semi-eixo maior da órbita. A fórmula é:
Onde:
  • é a velocidade do planeta,
  • (constante gravitacional vezes a massa do Sol),
  • é a distância do planeta ao Sol no ponto considerado (periélio ou afélio),
  • é o semi-eixo maior da órbita.

Passo 4

Vamos calcular o semi-eixo maior ( ) da órbita de Mercúrio. Ele é a média das distâncias do periélio ( ) e do afélio ( ):

Passo 5

Agora, precisamos saber o valor de . A constante gravitacional é aproximadamente e a massa do Sol é cerca de . Então:

Passo 6

Vamos calcular a velocidade no periélio ( ) usando a Equação de Vis-Viva:
Primeiro, calculamos os termos dentro da raiz:
Subtraindo:
Agora, multiplicamos por :
Finalmente, a raiz quadrada:

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade no afélio ( ) da mesma forma:
Calculando os termos dentro da raiz:
Subtraindo:
Multiplicando por :
Raiz quadrada:

Resposta

A velocidade de Mercúrio no periélio é aproximadamente e no afélio é cerca de .

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