As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Mostre que os raios das órbitas são tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as órbitas da Terra e de Vênus ao redor do Sol, que são quase circulares. Sabemos que o período de Vênus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Nosso objetivo é mostrar que o raio da órbita da Terra (
) é 1,38 vezes o raio da órbita de Vênus (
). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o raio da órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Kepler que vamos usar. A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período orbital (
) de um planeta é proporcional ao cubo do raio de sua órbita (
). Em fórmula, fica assim:
Isso significa que:
Passo 3
Vamos aplicar essa relação para a Terra e Vênus. Vamos chamar
o período da Terra e
o período de Vênus. Daí, temos:
Sabemos que
ano e
anos. Substituindo esses valores:
Passo 4
Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
Então, temos:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a relação entre
e
. Para isso, vamos tirar a raiz cúbica de ambos os lados:
Calculando a raiz cúbica de 2,648:
Resposta
Assim, concluímos que o raio da órbita da Terra é aproximadamente 1,38 vezes o raio da órbita de Vênus, ou seja: