As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Mostre que os raios das órbitas são tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as órbitas da Terra e de Vênus ao redor do Sol, que são quase circulares. Sabemos que o período de Vênus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Nosso objetivo é mostrar que o raio da órbita da Terra ( ) é 1,38 vezes o raio da órbita de Vênus ( ). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o raio da órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Kepler que vamos usar. A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período orbital ( ) de um planeta é proporcional ao cubo do raio de sua órbita ( ). Em fórmula, fica assim:
Isso significa que:

Passo 3

Vamos aplicar essa relação para a Terra e Vênus. Vamos chamar o período da Terra e o período de Vênus. Daí, temos:
Sabemos que ano e anos. Substituindo esses valores:

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
Então, temos:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a relação entre e . Para isso, vamos tirar a raiz cúbica de ambos os lados:
Calculando a raiz cúbica de 2,648:

Resposta

Assim, concluímos que o raio da órbita da Terra é aproximadamente 1,38 vezes o raio da órbita de Vênus, ou seja:

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