As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Mostre que os raios das órbitas são tais que rT=1,38 rV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as órbitas da Terra e de Vênus ao redor do Sol, que são quase circulares. Sabemos que o período de Vênus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Nosso objetivo é mostrar que o raio da órbita da Terra ( rT) é 1,38 vezes o raio da órbita de Vênus ( rV). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o raio da órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Kepler que vamos usar. A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período orbital ( T) de um planeta é proporcional ao cubo do raio de sua órbita ( r). Em fórmula, fica assim:
T^2 propto r^3
Isso significa que:
T1^2T2^2 = r1^3r2^3

Passo 3

Vamos aplicar essa relação para a Terra e Vênus. Vamos chamar TT o período da Terra e TV o período de Vênus. Daí, temos:
TT^2TV^2 = rT^3rV^3
Sabemos que TT = 1 ano e TV = 0,615 anos. Substituindo esses valores:
1^20,615^2 = rT^3rV^3

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
10,615^2 = 10,378225 approx 2,648
Então, temos:
2,648 = rT^3rV^3

Passo 5

Agora, queremos encontrar a relação entre rT e rV. Para isso, vamos tirar a raiz cúbica de ambos os lados:
(2,648)^1/3 = rTrV
Calculando a raiz cúbica de 2,648:
(2,648)^1/3 approx 1,38

Resposta

Assim, concluímos que o raio da órbita da Terra é aproximadamente 1,38 vezes o raio da órbita de Vênus, ou seja:
rT = 1,38 , rV

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