Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é , calcule a massa do Sol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a massa do Sol, sabendo que o raio médio da órbita da Terra ao redor do Sol é metros. Para resolver isso, vamos usar a teoria da gravitação universal de Newton e a terceira lei de Kepler. Precisaremos lembrar da fórmula da força gravitacional e como relacioná-la com o movimento orbital da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz que a força gravitacional ( ) entre dois corpos é dada por:
onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa do Sol,
  • é a massa da Terra,
  • é a distância entre os centros dos dois corpos (neste caso, o raio médio orbital da Terra).

Passo 3

Sabemos que a Terra está em movimento circular ao redor do Sol, então a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para esse movimento. A força centrípeta ( ) é dada por:
onde:
  • é a velocidade orbital da Terra.

Passo 4

Como a força gravitacional é igual à força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Note que a massa da Terra ( ) aparece nos dois lados e pode ser cancelada:

Passo 5

Vamos resolver para :
Agora, precisamos encontrar a velocidade orbital ( ) da Terra. Sabemos que a Terra completa uma órbita em um ano ( dias). Primeiro, convertendo o período para segundos:

Passo 6

A velocidade orbital pode ser encontrada pela relação:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula para :
Calculando o numerador:
Agora, dividindo pelo :

Resposta

A massa do Sol é aproximadamente quilos.

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