Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é
, calcule a massa do Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a massa do Sol, sabendo que o raio médio da órbita da Terra ao redor do Sol é
metros. Para resolver isso, vamos usar a teoria da gravitação universal de Newton e a terceira lei de Kepler. Precisaremos lembrar da fórmula da força gravitacional e como relacioná-la com o movimento orbital da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz que a força gravitacional (
) entre dois corpos é dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa do Sol, -
é a massa da Terra, -
é a distância entre os centros dos dois corpos (neste caso, o raio médio orbital da Terra).
Passo 3
Sabemos que a Terra está em movimento circular ao redor do Sol, então a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para esse movimento. A força centrípeta (
) é dada por:
onde:
-
é a velocidade orbital da Terra.
Passo 4
Como a força gravitacional é igual à força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Note que a massa da Terra (
) aparece nos dois lados e pode ser cancelada:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Agora, precisamos encontrar a velocidade orbital (
) da Terra. Sabemos que a Terra completa uma órbita em um ano (
dias). Primeiro, convertendo o período para segundos:
Passo 6
A velocidade orbital pode ser encontrada pela relação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula para
:
Calculando o numerador:
Agora, dividindo pelo
:
Resposta
A massa do Sol é aproximadamente
quilos.