prove que tan(10 graus) é irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que é irracional. Isso está dentro da matéria de Matemática, especificamente na área de Teoria dos Números e Funções Trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número ser irracional e como as funções trigonométricas, como a tangente, se comportam com ângulos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração exata de dois números inteiros. Exemplos famosos são pi e raiz(2). Agora, precisamos investigar se pode ser escrito dessa forma ou não.

Passo 3

Sabemos que a tangente de um ângulo em graus pode ser relacionada à extrapolação da função tangente em radianos. Portanto, converter 10 graus para radianos pode nos ajudar. A conversão é feita por:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos determinar se é irracional. No campo da matemática, provar a irracionalidade de funções trigonométricas para ângulos específicos não é trivial e, de fato, muitas dessas questões permanecem sem resposta definitiva. Até onde sabemos, não há uma prova conhecida que estabeleça a irracionalidade de .

Passo 5

Portanto, sem uma prova matemática estabelecida, não podemos confirmar que é irracional. Esse permanece como um tema aberto na matemática, e sua irracionalidade ainda não foi comprovada.

Resposta

Até o momento, não há uma prova conhecida que estabeleça que é irracional.

Exercícios relacionados