Sabendo que X tem distribuição normal com média 10 e desvio padrão 2, determine: P(9<X<12)

Passo 1

Ok, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média ( ) igual a 10 e desvio padrão ( ) igual a 2. A questão quer saber a probabilidade de estar entre 9 e 12, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a distribuição normal e entender como padronizar os valores para usar a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição normal. Ela é uma distribuição de probabilidade que é simétrica em torno da média, mostrando que os dados se agrupam perto da média e diminuem conforme nos afastamos dela. A função de densidade da normal é aquela famosa em forma de sino.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade , vamos padronizar os valores 9 e 12. Isso significa transformar esses valores em valores de , que seguem a distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para padronizar é:
Então, vamos calcular para 9 e para 12.

Passo 4

Vamos calcular para :
E para :
Agora, queremos encontrar .

Passo 5

Para encontrar essa probabilidade, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora. A probabilidade de ser menor que 1 é aproximadamente 0,8413, e a probabilidade de ser menor que -0,5 é aproximadamente 0,3085.
Então, calculamos:

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 53,3%.

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