Uma variável aleatória contínua possui f.d.p. dada por:
Calcular
Passo 1
Então, temos um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua. A gente precisa calcular a probabilidade de que essa variável esteja dentro de duas vezes o desvio padrão em relação à média. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a média e o desvio padrão da função densidade de probabilidade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média . A média de uma variável contínua é dada pela integral de multiplicado pela função densidade de probabilidade sobre todo o intervalo onde é diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular a integral para encontrar :
Calculando a integral:
Então, a média .
Passo 4
Agora, vamos encontrar o desvio padrão , que é a raiz quadrada da variância . Primeiro, precisamos calcular :
Calculando a integral:
Agora, calculamos a variância:
Então, o desvio padrão .
Passo 5
Agora, queremos calcular a probabilidade .
Primeiro, encontramos os limites:
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade integrando a função densidade de entre e :