Uma variável aleatória contínua possui f.d.p. dada por:
f(x) = { 6(x - x^2), se 0 <= x <= 1; 0, para outros valores de x }
Calcular P[E(X) - 2 sigma <= X <= E(X) + 2 sigma]

Passo 1

Então, temos um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua. A gente precisa calcular a probabilidade de que essa variável esteja dentro de duas vezes o desvio padrão em relação à média. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a média e o desvio padrão da função densidade de probabilidade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média . A média de uma variável contínua é dada pela integral de multiplicado pela função densidade de probabilidade sobre todo o intervalo onde é diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular a integral para encontrar :
Calculando a integral:
Então, a média .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o desvio padrão , que é a raiz quadrada da variância . Primeiro, precisamos calcular :
Calculando a integral:
Agora, calculamos a variância:
Então, o desvio padrão .

Passo 5

Agora, queremos calcular a probabilidade .
Primeiro, encontramos os limites:

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade integrando a função densidade de entre e :
Vamos calcular essa integral:
Calculando os valores nos limites e subtraindo:
Depois de simplificar os cálculos, obtemos:

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,95.

Exercícios relacionados