Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar um conjunto de cinco matrizes 2x2 como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.) no espaço
. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser L.I. ou L.D. e usar dimensões de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente. Um conjunto é L.I. se nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Caso contrário, é L.D.
Passo 3
Sabemos que
é o espaço de todas as matrizes 2x2 com números reais. A dimensão desse espaço é 4, porque podemos representar qualquer matriz 2x2 usando quatro números (os elementos da matriz).
Passo 4
Agora, temos um conjunto com 5 matrizes. Existe uma regra importante em Álgebra Linear: em um espaço vetorial de dimensão
, não podemos ter mais de
vetores linearmente independentes. Como
tem dimensão 4 e temos 5 matrizes, automaticamente sabemos que pelo menos uma delas pode ser escrita como combinação das outras. Portanto, o conjunto é Linearmente Dependente.
Resposta
O conjunto
é Linearmente Dependente (L.D.).
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial de dimensão finita
. Se
e
são subespaços vetoriais de
e
, prove que
.
Sabendo que
e
e
, determine as dimensões de
e
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Encontre uma base para
.