Sabendo que o vetor velocidade é dado por
v(t)=d r(t)d t=d x(t)d t i+d y(t)d t j
usando r(t) dado na questão anterior, determine v(t) e o valor de |v(t)| para t=2 s ^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o vetor velocidade e o módulo desse vetor quando . Para isso, vamos usar a definição de vetor velocidade, que é a derivada do vetor posição . Então, vamos precisar saber as funções e que descrevem a posição ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição r(t) = x(t), i + y(t), j geralmente é dado por:
Aqui, e são as coordenadas em função do tempo , e e são os vetores unitários nas direções e , respectivamente.

Passo 3

A definição do vetor velocidade v(t) = dr(t)dt = dx(t)dt, i + dy(t)dt, j é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Então, vamos precisar derivar as funções e em relação a .

Passo 4

Vamos supor que na questão anterior foi dado:
r(t) = (t^2), i + (t^3), j
Agora, vamos derivar cada componente:
dx(t)dt = d(t^2)dt = 2t
dy(t)dt = d(t^3)dt = 3t^2

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão do vetor velocidade:
v(t) = 2t, i + 3t^2, j
Então, nosso vetor velocidade depende de .

Passo 6

Agora, para encontrar o valor de v(2) = 2(2), i + 3(2)^2, j = 4, i + 12, j quando , primeiro vamos calcular :

Passo 7

O módulo do vetor velocidade é dado pela fórmula:
|v(t)| = raiz(dx(t)dt)^2 + (dy(t)dt)^2
Substituindo |v(2)| = raiz4^2 + 12^2 = raiz16 + 144 = raiz160 = 4raiz10, m/s :

Resposta

O vetor velocidade é e o módulo do vetor velocidade quando é .

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