Um rotor é um grande cilindro giratório (
) em que os passageiros ficam encostados na parede interna. O cilindro é posto a girar e, quando alcança uma certa velocidade angular, sua base (o chão) é retirada. Supondo que o coeficiente de atrito estático entre as roupas dos passageiros e a superfície interna do cilindro vale 0,20 (pelo menos), calcule o número mínimo de voltas que o cilindro deve executar em cada minuto para que as pessoas não caiam.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um rotor, que é um cilindro grande giratório com raio
. Os passageiros ficam encostados na parede interna do cilindro. Quando o cilindro gira, a base (chão) é retirada, e precisamos descobrir quantas voltas por minuto ele deve dar para que as pessoas não caiam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática circular e forças de atrito estático.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam nas pessoas dentro do cilindro. Quando o cilindro gira, as pessoas são empurradas para a parede interna devido à força centrípeta necessária para o movimento circular. Essa força centrípeta é fornecida pela força de atrito estático entre as roupas das pessoas e a parede do cilindro.
Passo 3
A força de atrito estático máxima que pode atuar é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de atrito estático, -
é a força normal, que no nosso caso é igual à força centrípeta necessária para manter as pessoas em movimento circular.
Passo 4
A força centrípeta (
) necessária para manter as pessoas na parede é:
Onde:
-
é a massa da pessoa (que vai se cancelar depois), -
é a aceleração centrípeta, que é dada por:
Com
sendo a velocidade angular em radianos por segundo.
Passo 5
Para que as pessoas não caiam, a força de atrito precisa ser pelo menos igual à força da gravidade (
):
Substituindo
e
:
Os
se cancelam:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Substituindo os valores conhecidos:
Então:
Passo 7
Queremos saber o número de voltas por minuto (
). Primeiro, convertemos
de rad/s para voltas por segundo (Hz):
Agora, multiplicamos por 60 para obter voltas por minuto:
Resposta
O rotor deve executar pelo menos 30 voltas por minuto para que as pessoas não caiam.