Um rotor é um grande cilindro giratório ( ) em que os passageiros ficam encostados na parede interna. O cilindro é posto a girar e, quando alcança uma certa velocidade angular, sua base (o chão) é retirada. Supondo que o coeficiente de atrito estático entre as roupas dos passageiros e a superfície interna do cilindro vale 0,20 (pelo menos), calcule o número mínimo de voltas que o cilindro deve executar em cada minuto para que as pessoas não caiam.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um rotor, que é um cilindro grande giratório com raio . Os passageiros ficam encostados na parede interna do cilindro. Quando o cilindro gira, a base (chão) é retirada, e precisamos descobrir quantas voltas por minuto ele deve dar para que as pessoas não caiam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática circular e forças de atrito estático.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam nas pessoas dentro do cilindro. Quando o cilindro gira, as pessoas são empurradas para a parede interna devido à força centrípeta necessária para o movimento circular. Essa força centrípeta é fornecida pela força de atrito estático entre as roupas das pessoas e a parede do cilindro.

Passo 3

A força de atrito estático máxima que pode atuar é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de atrito estático,
  • é a força normal, que no nosso caso é igual à força centrípeta necessária para manter as pessoas em movimento circular.

Passo 4

A força centrípeta ( ) necessária para manter as pessoas na parede é:
Onde:
  • é a massa da pessoa (que vai se cancelar depois),
  • é a aceleração centrípeta, que é dada por:
Com sendo a velocidade angular em radianos por segundo.

Passo 5

Para que as pessoas não caiam, a força de atrito precisa ser pelo menos igual à força da gravidade ( ):
Substituindo e :
Os se cancelam:

Passo 6

Agora, isolamos :
Substituindo os valores conhecidos:
Então:

Passo 7

Queremos saber o número de voltas por minuto ( ). Primeiro, convertemos de rad/s para voltas por segundo (Hz):
Agora, multiplicamos por 60 para obter voltas por minuto:

Resposta

O rotor deve executar pelo menos 30 voltas por minuto para que as pessoas não caiam.

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