Um rotor é um grande cilindro giratório ( R=5,0 m ) em que os passageiros ficam encostados na parede interna. O cilindro é posto a girar e, quando alcança uma certa velocidade angular, sua base (o chão) é retirada. Supondo que o coeficiente de atrito estático entre as roupas dos passageiros e a superfície interna do cilindro vale 0,20 (pelo menos), calcule o número mínimo de voltas que o cilindro deve executar em cada minuto para que as pessoas não caiam.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um rotor, que é um cilindro grande giratório com raio . Os passageiros ficam encostados na parede interna do cilindro. Quando o cilindro gira, a base (chão) é retirada, e precisamos descobrir quantas voltas por minuto ele deve dar para que as pessoas não caiam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática circular e forças de atrito estático.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam nas pessoas dentro do cilindro. Quando o cilindro gira, as pessoas são empurradas para a parede interna devido à força centrípeta necessária para o movimento circular. Essa força centrípeta é fornecida pela força de atrito estático entre as roupas das pessoas e a parede do cilindro.

Passo 3

A força de atrito estático máxima que pode atuar é dada por:
fs = mus cdot N
Onde:
  • é o coeficiente de atrito estático,
  • é a força normal, que no nosso caso é igual à força centrípeta necessária para manter as pessoas em movimento circular.

Passo 4

A força centrípeta ( N = m cdot ac ) necessária para manter as pessoas na parede é:
ac = omega^2 cdot R
Onde:
  • é a massa da pessoa (que vai se cancelar depois),
  • é a aceleração centrípeta, que é dada por:
Com sendo a velocidade angular em radianos por segundo.

Passo 5

Para que as pessoas não caiam, a força de atrito precisa ser pelo menos igual à força da gravidade ( fs >= m cdot g ):
mus cdot m cdot omega^2 cdot R >= m cdot g
Substituindo mus cdot omega^2 cdot R >= g e :
Os se cancelam:

Passo 6

Agora, isolamos omega^2 >= gmus cdot R :
omega^2 >= 9,8 , m/s^20,20 cdot 5,0 , m = 9,81 = 9,8 , rad^2/s^2
Substituindo os valores conhecidos:
omega >= raiz9,8 approx 3,13 , rad/s
Então:

Passo 7

Queremos saber o número de voltas por minuto ( f = omega2pi approx 3,136,28 approx 0,5 , Hz ). Primeiro, convertemos N = f times 60 approx 0,5 times 60 = 30 , vo de rad/s para voltas por segundo (Hz):
Agora, multiplicamos por 60 para obter voltas por minuto:

Resposta

O rotor deve executar pelo menos 30 voltas por minuto para que as pessoas não caiam.

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