Sabendo que seu volume , em função do raio , é dado pela equação , determine a taxa de crescimento instantâneo do volume, em relação ao raio quando é igual a 1 metro, 2 metros, e depois 3 metros. Comparando as três taxas, a que conclusão podemos chegar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que dá o volume de uma esfera em relação ao raio dela: . O conteúdo aqui é Cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda em relação a outra. Vamos precisar calcular a taxa de variação instantânea do volume em relação ao raio, ou seja, a derivada de em relação a , quando for 1, 2 e 3 metros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como tirar a derivada da função . A derivada nos diz como o volume muda quando o raio muda um pouquinho. Para isso, aplicamos a regra do poder:

Passo 3

Simplificando a expressão da derivada:
Então, a taxa de crescimento do volume em relação ao raio é .

Passo 4

Agora, vamos calcular essa taxa para metro, metros e metros.
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos comparar as taxas que encontramos:
  • Para metro:
  • Para metros:
  • Para metros:
Vemos que à medida que o raio aumenta, a taxa de crescimento do volume aumenta também. Na verdade, ela cresce proporcionalmente ao quadrado do raio.

Resposta

A taxa de crescimento instantâneo do volume em relação ao raio é . Quando metro, a taxa é ; quando metros, é ; e quando metros, é . Observamos que à medida que o raio aumenta, a taxa de crescimento do volume aumenta proporcionalmente ao quadrado do raio.

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