Sabendo que seu volume
, em função do raio
, é dado pela equação
, determine a taxa de crescimento instantâneo do volume, em relação ao raio quando
é igual a 1 metro, 2 metros, e depois 3 metros. Comparando as três taxas, a que conclusão podemos chegar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que dá o volume de uma esfera em relação ao raio dela:
. O conteúdo aqui é Cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda em relação a outra. Vamos precisar calcular a taxa de variação instantânea do volume em relação ao raio, ou seja, a derivada de
em relação a
, quando
for 1, 2 e 3 metros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como tirar a derivada da função
. A derivada nos diz como o volume muda quando o raio muda um pouquinho. Para isso, aplicamos a regra do poder:
Passo 3
Simplificando a expressão da derivada:
Então, a taxa de crescimento do volume em relação ao raio é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular essa taxa para
metro,
metros e
metros.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos comparar as taxas que encontramos:
- Para
metro: - Para
metros: - Para
metros:
Vemos que à medida que o raio aumenta, a taxa de crescimento do volume aumenta também. Na verdade, ela cresce proporcionalmente ao quadrado do raio.
Resposta
A taxa de crescimento instantâneo do volume em relação ao raio é
. Quando
metro, a taxa é
; quando
metros, é
; e quando
metros, é
. Observamos que à medida que o raio aumenta, a taxa de crescimento do volume aumenta proporcionalmente ao quadrado do raio.