Uma cerca de 164 metros será utilizada para formar um cercado retangular de lados a e b. Qual é a maior área possível para esse cercado? Explique sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos 164 metros de cerca para formar um retângulo com lados a e b. Queremos descobrir qual é a maior área que esse retângulo pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, especificamente como relacionar o perímetro e a área de um retângulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o perímetro P de um retângulo é calculado pela fórmula:
Sabemos que o perímetro disponível é 164 metros. Então, podemos escrever:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:

Passo 3

Queremos encontrar a área A do retângulo, que é dada por:
Nosso objetivo é maximizar essa área. Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função da outra usando a equação que encontramos:

Passo 4

Agora, substituímos b na fórmula da área:
Temos uma função quadrática em termos de a:

Passo 5

Para encontrar o valor de a que maximiza a área, observamos que essa função quadrática tem um máximo, já que o coeficiente de é negativo. O valor de a que maximiza a função pode ser encontrado pelo vértice da parábola, dado por:
á
Aqui, comparando com a forma geral , temos e . Então:
á

Passo 6

Com metros, podemos encontrar b usando a equação :
Isso significa que o retângulo que maximiza a área é um quadrado com lados de 41 metros.

Passo 7

Calculando a área máxima:

Resposta

A maior área possível para o cercado é de metros quadrados.

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