Uma cerca de 164 metros será utilizada para formar um cercado retangular de lados
e
. Qual é a maior área possível para esse cercado? Explique sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o problema: Temos 164 metros de cerca para formar um retângulo com lados
e
. Queremos descobrir qual é a maior área que esse retângulo pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, especificamente como relacionar o perímetro e a área de um retângulo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o perímetro
de um retângulo é calculado pela fórmula:
Sabemos que o perímetro disponível é 164 metros. Então, podemos escrever:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 3
Queremos encontrar a área
do retângulo, que é dada por:
Nosso objetivo é maximizar essa área. Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função da outra usando a equação que encontramos:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Temos uma função quadrática em termos de
:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, observamos que essa função quadrática tem um máximo, já que o coeficiente de
é negativo. O valor de
que maximiza a função pode ser encontrado pelo vértice da parábola, dado por:
Aqui, comparando com a forma geral
, temos
e
. Então:
Passo 6
Com
metros, podemos encontrar
usando a equação
:
Isso significa que o retângulo que maximiza a área é um quadrado com lados de 41 metros.
Passo 7
Calculando a área máxima:
Resposta
A maior área possível para o cercado é de
metros quadrados.
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