(Sadiku - 5.29) Duas regiões dielétricas homogêneas 1 ( rho <= 4 cm ) e 2 ( rho >= 4 cm ) tem constantes dielétricas 3.5 e 1.5, respectivamente. Se D2=12 arho-6 aphi+9 az nC / m^2, calcule:
P2 e rhopv 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas regiões dielétricas homogêneas: a região 1, que está dentro de um raio de 4 cm, com constante dielétrica 3,5, e a região 2, que está além desses 4 cm, com constante dielétrica 1,5. A equação que a gente tem é o campo de deslocamento elétrico na região 2, dado por:
D2 = 12, arho - 6, aphi + 9, az , nC/m^2
O que a gente precisa calcular são a polarização elétrica na região 2, P2, e a densidade de carga de polarização ligada, rhopv2.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a polarização P se relaciona com o campo de deslocamento D e como encontrar a densidade de carga ligada a partir da polarização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da relação entre o campo de deslocamento elétrico D, o campo elétrico E, e a polarização P:
D = varepsilon0 E + P
Onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12, F/m).
Mas também sabemos que em um meio dielétrico homogêneo e linear, a polarização está relacionada ao campo elétrico pela constante dielétrica relativa varepsilonr:
P = varepsilon0 (varepsilonr - 1) E
E o campo de deslocamento também pode ser expresso como:
D = varepsilon0 varepsilonr E
Com essas duas equações, a gente pode relacionar D e P.

Passo 3

Na região 2, a constante dielétrica relativa é varepsilonr2 = 1,5. Vamos usar a relação:
P2 = D2 - varepsilon0 E2
Mas para encontrar E2, podemos reescrever a equação D = varepsilon0 varepsilonr E:
E2 = D2varepsilon0 varepsilonr2
Substituindo E2 na equação de P2:
P2 = D2 - varepsilon0 ( D2varepsilon0 varepsilonr2 ) = D2 (1 - 1varepsilonr2 )

Passo 4

Vamos calcular P2 usando a expressão acima:
P2 = D2 (1 - 11,5 ) = D2 (1 - 23 ) = D2 ( 13 )
Substituindo D2:
P2 = (12, arho - 6, aphi + 9, az ) times 13 = 4, arho - 2, aphi + 3, az , nC/m^2

Passo 5

Agora, para encontrar a densidade de carga de polarização ligada, rhopv2, usamos a relação:
rhopv = -nabla cdot P
Isso quer dizer que precisamos calcular a divergência de P2. Em coordenadas cilíndricas, a divergência de um campo vetorial P = Prho arho + Pphi aphi + Pz az é dada por:
nabla cdot P = 1rho partialpartial rho (rho Prho) + 1rho partial Pphipartial phi + partial Pzpartial z

Passo 6

Observando P2 = 4, arho - 2, aphi + 3, az, notamos que os componentes de P2 são constantes, ou seja, não dependem de rho, phi ou z. Portanto, as derivadas parciais serão:
partialpartial rho (rho Prho) = partialpartial rho (4rho) = 4
partial Pphipartial phi = 0
partial Pzpartial z = 0
Então, a divergência fica:
nabla cdot P2 = 1rho times 4 + 0 + 0 = 4rho

Passo 7

Finalmente, a densidade de carga de polarização ligada é:
rhopv2 = -nabla cdot P2 = -4rho , nC/m^3

Resposta

Assim, os valores solicitados são:
P2 = 4, arho - 2, aphi + 3, az , nC/m^2
rhopv2 = -4rho , nC/m^3

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