(Sadiku - 5.29) Duas regiões dielétricas homogêneas 1 (
) e 2 (
cm ) tem constantes dielétricas 3.5 e 1.5, respectivamente. Se
, calcule:
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas regiões dielétricas homogêneas: a região 1, que está dentro de um raio de 4 cm, com constante dielétrica 3,5, e a região 2, que está além desses 4 cm, com constante dielétrica 1,5. A equação que a gente tem é o campo de deslocamento elétrico na região 2, dado por:
O que a gente precisa calcular são a polarização elétrica na região 2,
, e a densidade de carga de polarização ligada,
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a polarização
se relaciona com o campo de deslocamento
e como encontrar a densidade de carga ligada a partir da polarização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da relação entre o campo de deslocamento elétrico
, o campo elétrico
, e a polarização
:
Onde
é a permissividade do vácuo (
).
Mas também sabemos que em um meio dielétrico homogêneo e linear, a polarização está relacionada ao campo elétrico pela constante dielétrica relativa
:
E o campo de deslocamento também pode ser expresso como:
Com essas duas equações, a gente pode relacionar
e
.
Passo 3
Na região 2, a constante dielétrica relativa é
. Vamos usar a relação:
Mas para encontrar
, podemos reescrever a equação
:
Substituindo
na equação de
:
Passo 4
Vamos calcular
usando a expressão acima:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, para encontrar a densidade de carga de polarização ligada,
, usamos a relação:
Isso quer dizer que precisamos calcular a divergência de
. Em coordenadas cilíndricas, a divergência de um campo vetorial
é dada por:
Passo 6
Observando
, notamos que os componentes de
são constantes, ou seja, não dependem de
,
ou
. Portanto, as derivadas parciais serão:
Então, a divergência fica:
Passo 7
Finalmente, a densidade de carga de polarização ligada é:
Resposta
Assim, os valores solicitados são: