(Sadiku - 5.33) Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio 5 cm , está carregada com uma carga total de 12 nC , uniformemente distribuída em sua superfície. Determine:
D externo à esfera

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera revestida de prata com raio de 5 cm que está carregada com uma carga total de 12 nC, distribuída de maneira uniforme na superfície. O que precisamos descobrir é o campo de deslocamento elétrico ($ \mathbf{D} $) fora dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é o campo de deslocamento elétrico ($ \mathbf{D} D áé \mathbf{E} E à \varepsilon $) pela relação:
varepsilon
No espaço livre (vácuo), a permissividade é $ \varepsilon_0 $, que é uma constante conhecida.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico. A Lei de Gauss nos diz que:
oint D cdot dA = Qlivre
Onde $ Q_{livre} $ é a carga livre dentro da superfície gaussiana. No nosso caso, toda a carga está na superfície da esfera, então $ Q_{livre} = 12,nC $.

Passo 4

Como a distribuição de carga é uniforme e a esfera é simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica com raio $ r $ maior que 5 cm (o raio da esfera). Isso simplifica a integral, já que $ \mathbf{D} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é perpendicular a ela. Assim, a integral se torna:
r
Onde $ D $ é a magnitude do campo de deslocamento elétrico fora da esfera.

Passo 5

Agora, isolamos $ D $ na equação:
D
Substituindo $ Q = 12,nC = 12 \times 10^{-9},C $, temos:
D = Q4pi r^2

Resposta

O campo de deslocamento elétrico fora da esfera é dado por:
D = 12 times 10^-9,C4pi r^2 r
Onde $ r $ é a distância do centro da esfera e $ \hat{r} $ é o vetor unitário radial.

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