(Sadiku - 5.33) Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio 5 cm , está carregada com uma carga total de 12 nC , uniformemente distribuída em sua superfície. Determine:
D externo à esfera
D externo à esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera revestida de prata com raio de 5 cm que está carregada com uma carga total de 12 nC, distribuída de maneira uniforme na superfície. O que precisamos descobrir é o campo de deslocamento elétrico ($ \mathbf{D} $) fora dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é o campo de deslocamento elétrico ($ \mathbf{D}
\mathbf{E}
\varepsilon $) pela relação:
No espaço livre (vácuo), a permissividade é $ \varepsilon_0 $, que é uma constante conhecida.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde $ Q_{livre} $ é a carga livre dentro da superfície gaussiana. No nosso caso, toda a carga está na superfície da esfera, então $ Q_{livre} = 12,nC $.
Passo 4
Como a distribuição de carga é uniforme e a esfera é simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica com raio $ r $ maior que 5 cm (o raio da esfera). Isso simplifica a integral, já que $ \mathbf{D} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é perpendicular a ela. Assim, a integral se torna:
Onde $ D $ é a magnitude do campo de deslocamento elétrico fora da esfera.
Passo 5
Agora, isolamos $ D $ na equação:
Substituindo $ Q = 12,nC = 12 \times 10^{-9},C $, temos:
Resposta
O campo de deslocamento elétrico fora da esfera é dado por:
Onde $ r $ é a distância do centro da esfera e $ \hat{r} $ é o vetor unitário radial.