(Sadiku - 6.34) As cascas concêntricas
e
são mantidas a
e
, respectivamente. Se o espaço entre elas é preenchido com material dielétrico (
), encontre:
, E e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas cascas concêntricas, uma com raio de 20 cm (r = 20 cm) mantida em V = 0 volts e outra com raio de 30 cm (r = 30 cm) mantida em V = 50 volts. O espaço entre elas está preenchido com um material dielétrico com permissividade elétrica ε = 3.1 ε₀ e condutividade σ = 10⁻¹² S/m. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico V, o campo elétrico E e o deslocamento elétrico D nessa região. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática envolvendo campos em dielétricos e distribuição de cargas em condutores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a carga se distribui nas cascas. Como a casca interna está em V = 0 e a externa em V = 50 V, haverá uma diferença de potencial que cria um campo elétrico entre elas. A presença do dielétrico influencia esse campo. Vamos assumir que as cascas são esféricas e concêntricas, então a simetria esférica nos ajuda a simplificar os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular o potencial elétrico V® na região entre as cascas. Sabemos que a diferença de potencial entre r = 20 cm e r = 30 cm é de 50 V. Com a simetria esférica, o potencial pode ser determinado usando a equação para capacitores esféricos com dielétrico:
Onde Q é a carga nas cascas e ε é a permissividade do dielétrico.
Passo 4
Agora, vamos determinar o campo elétrico E®. O campo elétrico em um dielétrico é relacionado ao potencial pela derivada negativa:
Usando a expressão para V® que encontramos, podemos calcular E®.
Passo 5
Por fim, calculamos o deslocamento elétrico D®. O deslocamento elétrico está relacionado ao campo elétrico e à permissividade do material:
Substituindo os valores que já temos, conseguimos encontrar D®.
Resposta
Após os cálculos, encontramos:
- Potencial Elétrico: $ V = 50 , V $
- Campo Elétrico: $ E® = \frac{50}{r \ln(1.5)} , V/m $
- Deslocamento Elétrico: $ D® = 3.1 \varepsilon_{0} \cdot E® $