(Sadiku - 6.34) As cascas concêntricas r=20 cm e r=30 cm são mantidas a V=0 e V=50, respectivamente. Se o espaço entre elas é preenchido com material dielétrico ( varepsilon=3.1 varepsilon0, sigma=10^-12 S / m ), encontre:
V, E e D

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas cascas concêntricas, uma com raio de 20 cm (r = 20 cm) mantida em V = 0 volts e outra com raio de 30 cm (r = 30 cm) mantida em V = 50 volts. O espaço entre elas está preenchido com um material dielétrico com permissividade elétrica ε = 3.1 ε₀ e condutividade σ = 10⁻¹² S/m. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico V, o campo elétrico E e o deslocamento elétrico D nessa região. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática envolvendo campos em dielétricos e distribuição de cargas em condutores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a carga se distribui nas cascas. Como a casca interna está em V = 0 e a externa em V = 50 V, haverá uma diferença de potencial que cria um campo elétrico entre elas. A presença do dielétrico influencia esse campo. Vamos assumir que as cascas são esféricas e concêntricas, então a simetria esférica nos ajuda a simplificar os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular o potencial elétrico V® na região entre as cascas. Sabemos que a diferença de potencial entre r = 20 cm e r = 30 cm é de 50 V. Com a simetria esférica, o potencial pode ser determinado usando a equação para capacitores esféricos com dielétrico:
V(r) = 14pivarepsilon cdot Qr
Onde Q é a carga nas cascas e ε é a permissividade do dielétrico.

Passo 4

Agora, vamos determinar o campo elétrico E®. O campo elétrico em um dielétrico é relacionado ao potencial pela derivada negativa:
E(r) = -dVdr
Usando a expressão para V® que encontramos, podemos calcular E®.

Passo 5

Por fim, calculamos o deslocamento elétrico D®. O deslocamento elétrico está relacionado ao campo elétrico e à permissividade do material:
D(r) = varepsilon cdot E(r)
Substituindo os valores que já temos, conseguimos encontrar D®.

Resposta

Após os cálculos, encontramos:
  • Potencial Elétrico: $ V = 50 , V $
  • Campo Elétrico: $ E® = \frac{50}{r \ln(1.5)} , V/m $
  • Deslocamento Elétrico: $ D® = 3.1 \varepsilon_{0} \cdot E® $

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