Numa sala de aula, tem-se cinco homens e 4 mulheres. São retiradas, aleatoriamente, três pessoas. Faça X a variável aleatória número de rapazes.
c) Calcule as probabilidades
I) P(X <= 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sala com 5 homens e 4 mulheres, totalizando 9 pessoas. Queremos tirar 3 pessoas aleatoriamente e calcular a probabilidade de ter no máximo 2 homens nessa seleção. Vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular as combinações possíveis. Quando falamos em escolher 3 pessoas de um total de 9, usamos a combinação simples, que é representada por:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Aqui, (total de pessoas) e (quantidade a ser escolhida).

Passo 3

Vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 pessoas entre 9:
C(9, 3) = 9!3!(9-3)! = 9 times 8 times 73 times 2 times 1 = 84
Então, existem 84 maneiras possíveis de escolher 3 pessoas.

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de ter no máximo 2 homens, ou seja, . Isso inclui os casos onde temos 0, 1 ou 2 homens na seleção.

Passo 5

Vamos calcular cada um desses casos separadamente:
  • Caso 0 homens: Todas as 3 pessoas são mulheres.
C(5, 0) times C(4, 3) = 1 times 4 = 4
  • Caso 1 homem: 1 homem e 2 mulheres.
C(5, 1) times C(4, 2) = 5 times 6 = 30
  • Caso 2 homens: 2 homens e 1 mulher.
C(5, 2) times C(4, 1) = 10 times 4 = 40

Passo 6

Agora, somamos todas essas possibilidades para encontrar o total de seleções com no máximo 2 homens:
4 + 30 + 40 = 74

Passo 7

Por fim, a probabilidade de ter no máximo 2 homens é o número de seleções favoráveis dividido pelo número total de seleções possíveis:
P(X <= 2) = 7484 = 3742 approx 0,88

Resposta

A probabilidade de ter no máximo 2 homens na seleção de 3 pessoas é aproximadamente ou .

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No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias: X = número de pontos (resultado) obtido no primeiro dado; Y = número de pontos (resultado) obtido no segundo dado.
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IV) B= máximo de (X, Y)
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III) Z=X Y
Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule a probabilidade de ocorrer:
c) De não dar nenhuma coroa.
Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule a probabilidade de ocorrer:
d) De dar pelo menos uma coroa.