Salcule as integrais iteradas integral0^16 integral0^4(2 x y-x^3 raiz[4]x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral0^16 integral0^4(2xy - x^3 raiz[4]xy) , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^4 (2xy - x^3 raiz[4]xy) , dy . Vamos integrar a função de a , mantendo como constante.

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^4 2xy , dy - integral0^4 x^3 raiz[4]xy , dy

Passo 4

Resolva a primeira integral:
integral0^4 2xy , dy = 2x integral0^4 y , dy = 2x [ y^22 ]0^4 = 2x ( 162 ) = 2x times 8 = 16x

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^4 x^3 raiz[4]xy , dy
Primeiro, simplificamos a raiz:
raiz[4]xy = (xy)^1/4 = x^1/4 y^1/4
Então, a integral fica:
x^3 cdot x^1/4 integral0^4 y^1/4 , dy = x^13/4 integral0^4 y^1/4 , dy

Passo 6

Agora, resolvemos a integral de integral y^1/4 , dy = y^5/45/4 = 45 y^5/4 :
45 [ y^5/4 ]0^4 = 45 (4^5/4 - 0)
Aplicando os limites de integração de 0 a 4:
45 times 4 raiz2 = 16 raiz25
Sabendo que x^13/4 times 16 raiz25 = 16 raiz25 x^13/4 , temos:
Então, a segunda integral completa fica:

Passo 7

Voltando à integral interna completa, temos:
16x - 16 raiz25 x^13/4
Agora, precisamos integrar isso em relação a integral0^16 (16x - 16 raiz25 x^13/4) , dx de 0 a 16:

Passo 8

Vamos separar essa integral em duas partes:
16 integral0^16 x , dx - 16 raiz25 integral0^16 x^13/4 , dx
Primeira integral:
16 integral x , dx = 16 [ x^22 ]0^16 = 16 times 2562 = 16 times 128 = 2048
Segunda integral:
16 raiz25 integral x^13/4 , dx = 16 raiz25 times x^17/417/4 = 64 raiz285 x^17/4
Aplicando os limites de integração:
64 raiz285 [16^17/4 - 0]
Sabendo que 64 raiz285 times 131072 = 8388608 raiz285 approx 98746.56 raiz2 approx 139657 , temos:

Resposta

A integral iterada vale aproximadamente -137.657.

Exercícios relacionados

Determine a área de um triângulo definido por dois vetores a e b.
Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto P à reta definida pelo pelos pontos Q e R.
(a) P = (3, 1, -2), Q = (2, 5, 1) e R = (-1, 4, 2)
(b) P = (-2, 5, 1), Q = (3, -1, 4) e R = (1, 6, -3)
Salcule as integrais iteradas integral0^2 integral0^1(x^2 raizx^3+y) d x d y
Calcule integral duplaD cos (x^2+y^2) d A, onde D é a regiāo do segundo quadrante entre os discos de raio 3 e raio 4 .