Salcule as integrais iteradas integral0^2 integral0^1(x^2 raizx^3+y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você enviou:
integral0^2 integral0^1 (x^2 raizx^3+y) , dx , dy
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar em relação a integral0^1 x^2 raizx^3 + y , dx mantendo como constante:
Aqui, veremos que uma substituição vai facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x^3 + y
Então, a derivada de dudx = 3x^2 Rightarrow x^2 dx = du3 em relação a integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du é:
13 cdot 23 u^3/2 + C = 29 u^3/2 + C
Substituindo na integral, fica:
29 (x^3 + y)^3/2 |0^1 = 29 ((1 + y)^3/2 - y^3/2)
Integrando , obtemos:
Agora, voltando para e aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 4

Agora, precisamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^2 29 ((1 + y)^3/2 - y^3/2) , dy de 0 a 2:
29 integral0^2 ((1 + y)^3/2 - y^3/2) , dy
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integração de integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C = 25 (1 + y)^5/2 + C :
    Seja integral y^3/2 , dy = 25 y^5/2 + C , então 29 [ 25 (1 + y)^5/2 - 25 y^5/2 ] |0^2 . A integral fica:
    445 [ (1 + y)^5/2 - y^5/2 ] |0^2
  2. Integração de :
Substituindo de volta na integral original:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Para (1 + 2)^5/2 - 2^5/2 = 3^5/2 - 2^5/2 = 9raiz3 - 4raiz2 :
(1 + 0)^5/2 - 0^5/2 = 1^5/2 - 0 = 1
Para 445 [ (9raiz3 - 4raiz2) - 1 ] = 445 (9raiz3 - 4raiz2 - 1) :
Substituindo na expressão:

Resposta

A integral dupla vale:
445 (9raiz3 - 4raiz2 - 1)

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