Calcule , onde é a regiāo do segundo quadrante entre os discos de raio 3 e raio 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que está no segundo quadrante e entre dois discos com raios 3 e 4. Vamos usar cálculo em coordenadas polares para facilitar, já que a região envolve círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a relação entre as coordenadas cartesianas e polares é dada por:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .
Passo 3
Como a região está no segundo quadrante, o ângulo varia de a , ou em radianos, de a .
Passo 4
Os raios dos discos são 3 e 4, então o raio varia de 3 a 4. Assim, temos os limites de integração para .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Sabemos que , então a função fica .
Passo 6
Com tudo isso, nossa integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:
Passo 8
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: