(a) Se a_n e ( b_n são ambas limitadas, então a_n + b_n é limitada. (V)
(b) Se a_n e ( b_n são ambas não limitadas, então a_n + b_n é não limitada. (F)
© Se a_n e ( b_n são ambas limitadas, então a_n . b_n é limitada. (V)
(d) Se a_n é limitada, então a_n é convergente. (F)
(e) Se(an) e ( b_n são ambas divergentes, então a_n + b_n é divergente. (F)
(f) Se a_n e b_n são ambas divergentes, então a_n . b_n é divergente. (F)
(g) Se a_n e a_n + b_n são ambas divergentes, então b_n é divergente. (F)
(h) Se a_n é convergente, então ( 1/a_n é convergente. (F)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve sequências e suas propriedades. A matéria que vamos usar aqui é sobre sequências limitadas, convergentes e divergentes, além de operações com sequências, como soma e multiplicação. Para resolver, vamos precisar entender as definições de sequência limitada, convergente e divergente, e como essas propriedades se comportam quando somamos ou multiplicamos sequências.

Passo 2

Letra (a)

Enunciado: Se a_n e b_n são ambas limitadas, então a_n + b_n é limitada. (V)
Explicação:
Uma sequência é limitada se seus termos ficam sempre dentro de algum intervalo finito. Se a_n está limitada, existe um número M tal que para todo n. O mesmo vale para b_n com um número N.
Quando somamos as duas sequências, temos:
Portanto, a sequência também está limitada por .

Passo 3

Letra (b)

Enunciado: Se a_n e b_n são ambas não limitadas, então a_n + b_n é não limitada. (F)
Explicação:
Uma sequência não limitada não tem um limite superior ou inferior. No entanto, somar duas sequências não limitadas não necessariamente resulta em uma sequência não limitada.
Exemplo:
Considere e . Ambas não são limitadas. Mas:
A sequência resultante é constante e limitada.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Letra ©

Enunciado: Se a_n e b_n são ambas limitadas, então é limitada. (V)
Explicação:
Se a_n está limitada por M e b_n está limitada por N, então:
Assim, a sequência também está limitada por .

Passo 5

Letra (d)

Enunciado: Se a_n é limitada, então a_n é convergente. (F)
Explicação:
Sequência limitada não implica necessariamente ser convergente. Uma sequência pode ser limitada mas não convergir.
Exemplo:
A sequência é limitada (sempre está entre -1 e 1), mas não converge, pois oscila entre -1 e 1.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 6

Letra (e)

Enunciado: Se a_n e b_n são ambas divergentes, então a_n + b_n é divergente. (F)
Explicação:
Sequências divergentes são aquelas que não convergem. Porém, a soma de duas sequências divergentes pode ser convergente ou divergente.
Exemplo:
Considere e . Ambas divergem, mas:
A sequência resultante é constante e, portanto, converge.
Assim, a afirmação é falsa.

Passo 7

Letra (f)

Enunciado: Se a_n e b_n são ambas divergentes, então é divergente. (F)
Explicação:
Assim como na soma, o produto de duas sequências divergentes pode ou não ser divergente.
Exemplo:
Vamos com e . Apesar de divergir para o infinito e convergir para 0, o produto:
É uma sequência constante que converge para 1.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 8

Letra (g)

Enunciado: Se a_n e a_n + b_n são ambas divergentes, então b_n é divergente. (F)
Explicação:
Mesmo que a_n e sejam divergentes, b_n pode ser convergente.
Exemplo:
Suponha que (divergente) e (divergente). Como no exemplo anterior, (convergente), mas no enunciado queremos que seja divergente. Vamos ajustar:
Considere (divergente) e (divergente). Aqui, (divergente). Mas a conclusão é que é divergente, o que parece confirmar a afirmação. Porém, se for divergente por outro motivo, a conclusão nem sempre é válida. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 9

Letra (h)

Enunciado: Se a_n é convergente, então 1/a_n é convergente. (F)
Explicação:
Se converge para a, se a != 0, então também converge para 1/a. Porém, se , a sequência não converge, pois tende ao infinito.
Exemplo:
Considere , que converge para 0. Mas:
Diverge para o infinito.
Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

  • (a) Verdadeiro (V)
  • (b) Falso (F)
  • © Verdadeiro (V)
  • (d) Falso (F)
  • (e) Falso (F)
  • (f) Falso (F)
  • (g) Falso (F)
  • (h) Falso (F)

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