(a) Se
e (
são ambas limitadas, então
é limitada. (V)
(b) Se
e (
são ambas não limitadas, então
é não limitada. (F)
© Se
e (
são ambas limitadas, então
é limitada. (V)
(d) Se
é limitada, então
é convergente. (F)
(e)
e (
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
(f) Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
(g) Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
(h) Se
é convergente, então (
é convergente. (F)
(b) Se
© Se
(d) Se
(e)
(f) Se
(g) Se
(h) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve sequências e suas propriedades. A matéria que vamos usar aqui é sobre sequências limitadas, convergentes e divergentes, além de operações com sequências, como soma e multiplicação. Para resolver, vamos precisar entender as definições de sequência limitada, convergente e divergente, e como essas propriedades se comportam quando somamos ou multiplicamos sequências.
Passo 2
Letra (a)
Enunciado: Se
e
são ambas limitadas, então
é limitada. (V)
Explicação:
Uma sequência é limitada se seus termos ficam sempre dentro de algum intervalo finito. Se está limitada, existe um número
tal que
para todo
. O mesmo vale para
com um número
.
Uma sequência é limitada se seus termos ficam sempre dentro de algum intervalo finito. Se
Quando somamos as duas sequências, temos:
Portanto, a sequência
também está limitada por
.
Passo 3
Letra (b)
Enunciado: Se
e
são ambas não limitadas, então
é não limitada. (F)
Explicação:
Uma sequência não limitada não tem um limite superior ou inferior. No entanto, somar duas sequências não limitadas não necessariamente resulta em uma sequência não limitada.
Uma sequência não limitada não tem um limite superior ou inferior. No entanto, somar duas sequências não limitadas não necessariamente resulta em uma sequência não limitada.
Exemplo:
Considere e
. Ambas não são limitadas. Mas:
Considere
A sequência resultante é constante e limitada.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Letra ©
Enunciado: Se
e
são ambas limitadas, então
é limitada. (V)
Explicação:
Se está limitada por
e
está limitada por
, então:
Se
Assim, a sequência
também está limitada por
.
Passo 5
Letra (d)
Enunciado: Se
é limitada, então
é convergente. (F)
Explicação:
Sequência limitada não implica necessariamente ser convergente. Uma sequência pode ser limitada mas não convergir.
Sequência limitada não implica necessariamente ser convergente. Uma sequência pode ser limitada mas não convergir.
Exemplo:
A sequência é limitada (sempre está entre -1 e 1), mas não converge, pois oscila entre -1 e 1.
A sequência
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 6
Letra (e)
Enunciado: Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
Explicação:
Sequências divergentes são aquelas que não convergem. Porém, a soma de duas sequências divergentes pode ser convergente ou divergente.
Sequências divergentes são aquelas que não convergem. Porém, a soma de duas sequências divergentes pode ser convergente ou divergente.
Exemplo:
Considere e
. Ambas divergem, mas:
Considere
A sequência resultante é constante e, portanto, converge.
Assim, a afirmação é falsa.
Passo 7
Letra (f)
Enunciado: Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
Explicação:
Assim como na soma, o produto de duas sequências divergentes pode ou não ser divergente.
Assim como na soma, o produto de duas sequências divergentes pode ou não ser divergente.
Exemplo:
Vamos com e
. Apesar de
divergir para o infinito e
convergir para 0, o produto:
Vamos com
É uma sequência constante que converge para 1.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 8
Letra (g)
Enunciado: Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
Explicação:
Mesmo que e
sejam divergentes,
pode ser convergente.
Mesmo que
Exemplo:
Suponha que (divergente) e
(divergente). Como no exemplo anterior,
(convergente), mas no enunciado queremos que
seja divergente. Vamos ajustar:
Suponha que
Considere
(divergente) e
(divergente). Aqui,
(divergente). Mas a conclusão é que
é divergente, o que parece confirmar a afirmação. Porém, se
for divergente por outro motivo, a conclusão nem sempre é válida. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 9
Letra (h)
Enunciado: Se
é convergente, então
é convergente. (F)
Explicação:
Se converge para
, se
, então
também converge para
. Porém, se
, a sequência
não converge, pois tende ao infinito.
Se
Exemplo:
Considere , que converge para 0. Mas:
Considere
Diverge para o infinito.
Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
- (a) Verdadeiro (V)
- (b) Falso (F)
- © Verdadeiro (V)
- (d) Falso (F)
- (e) Falso (F)
- (f) Falso (F)
- (g) Falso (F)
- (h) Falso (F)
Exercícios relacionados
Conceitue mockup, protótipo e modelo em escala reduzida. Estabeleça as diferenças nos seus usos, indicando quais são as suas aplicações.
A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é uniforme em uma seção transversal do fio e vale
. Qual a corrente que atravessa a porção externa do fio entre as distâncias radiais
e R?
Usando substituição, calcule:
Em cada um dos itens abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
,