Usando substituição, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando a expressão , ela aparece tanto dentro da potência quanto na parte que multiplica. Então, vamos definir:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral em algo mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Como na nossa integral temos , vamos ajustar isso:
Portanto, nossa integral agora fica em termos de :

Passo 4

Antes de integrar, precisamos ajustar os limites de integração de para . Quando :
E quando :
Agora, nossa integral com os novos limites é:
Vamos integrar :
Multiplicando por 4:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de na expressão integrada:
Portanto, o valor da integral é 15.

Resposta

A integral é igual a 15.

Exercícios relacionados

(a) Se e ( são ambas limitadas, então é limitada. (V)
(b) Se e ( são ambas não limitadas, então é não limitada. (F)
© Se e ( são ambas limitadas, então é limitada. (V)
(d) Se é limitada, então é convergente. (F)
(e) e ( são ambas divergentes, então é divergente. (F)
(f) Se e são ambas divergentes, então é divergente. (F)
(g) Se e são ambas divergentes, então é divergente. (F)
(h) Se é convergente, então ( é convergente. (F)
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