Usando substituição, calcule: integral0^1 8 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando a expressão u = x^2 + 1 , ela aparece tanto dentro da potência quanto na parte que multiplica. Então, vamos definir:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral em algo mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir 8x , dx = 4 , du na integral. Calculando a derivada:
integral 8x(x^2+1)^3 dx = integral 4u^3 du
Isso significa que:
Como na nossa integral temos , vamos ajustar isso:
Portanto, nossa integral agora fica em termos de :

Passo 4

Antes de integrar, precisamos ajustar os limites de integração de u = 0^2 + 1 = 1 para u = 1^2 + 1 = 2 . Quando 4 integral1^2 u^3 du :
integral u^3 du = u^44
E quando 4 cdot u^44 = u^4 :
Agora, nossa integral com os novos limites é:
Vamos integrar :
Multiplicando por 4:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de u^4 |1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 na expressão integrada:
Portanto, o valor da integral é 15.

Resposta

A integral é igual a 15.

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