Em cada um dos itens abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
y'' - 6y' + 9y = 0,
y(0) = 0, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado nos dá a equação:
Com as condições iniciais:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, para resolver a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem:
Vamos encontrar a equação característica associada, que é:
Essa equação nos ajudará a encontrar as raízes que determinam a forma da solução geral.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Notando que e , podemos fatorar assim:
Isso significa que temos uma raiz real dupla em .

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usamos :
Portanto, .

Passo 6

Em seguida, usamos a segunda condição inicial .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, avaliamos em :
Então, .

Passo 7

Com e , a solução particular do problema é:

Passo 8

Vamos esboçar o gráfico dessa solução e descrever seu comportamento quando cresce.
A função é uma função que cresce exponencialmente devido ao termo , e também é multiplicada por , o que acelera ainda mais o crescimento. Portanto, conforme aumenta, cresce muito rapidamente, indo para o infinito.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função mostra um crescimento exponencial acelerado conforme aumenta, tendendo ao infinito.

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