Em cada um dos itens abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando cresce.
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado nos dá a equação:
Com as condições iniciais:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, para resolver a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem:
Vamos encontrar a equação característica associada, que é:
Essa equação nos ajudará a encontrar as raízes que determinam a forma da solução geral.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Notando que e , podemos fatorar assim:
Isso significa que temos uma raiz real dupla em .

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usamos :
Portanto, .

Passo 6

Em seguida, usamos a segunda condição inicial .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, avaliamos em :
Então, .

Passo 7

Com e , a solução particular do problema é:

Passo 8

Vamos esboçar o gráfico dessa solução e descrever seu comportamento quando cresce.
A função é uma função que cresce exponencialmente devido ao termo , e também é multiplicada por , o que acelera ainda mais o crescimento. Portanto, conforme aumenta, cresce muito rapidamente, indo para o infinito.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função mostra um crescimento exponencial acelerado conforme aumenta, tendendo ao infinito.

Exercícios relacionados

Usando substituição, calcule:
(a) Se e ( são ambas limitadas, então é limitada. (V)
(b) Se e ( são ambas não limitadas, então é não limitada. (F)
© Se e ( são ambas limitadas, então é limitada. (V)
(d) Se é limitada, então é convergente. (F)
(e) e ( são ambas divergentes, então é divergente. (F)
(f) Se e são ambas divergentes, então é divergente. (F)
(g) Se e são ambas divergentes, então é divergente. (F)
(h) Se é convergente, então ( é convergente. (F)
Considere o sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a solução deste problema, para .
b) Faça o gráfico da solução , em função de , para , . Compare os resultados com os do problema anterior, ou seja, descreva o efeito das condições iniciais não nulas.