Em cada um dos itens abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado nos dá a equação:
Com as condições iniciais:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, para resolver a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem:
Vamos encontrar a equação característica associada, que é:
Essa equação nos ajudará a encontrar as raízes que determinam a forma da solução geral.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Notando que
e
, podemos fatorar assim:
Isso significa que temos uma raiz real dupla em
.
Passo 4
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, usamos
:
Portanto,
.
Passo 6
Em seguida, usamos a segunda condição inicial
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, avaliamos em
:
Então,
.
Passo 7
Com
e
, a solução particular do problema é:
Passo 8
Vamos esboçar o gráfico dessa solução e descrever seu comportamento quando
cresce.
A função
é uma função que cresce exponencialmente devido ao termo
, e também é multiplicada por
, o que acelera ainda mais o crescimento. Portanto, conforme
aumenta,
cresce muito rapidamente, indo para o infinito.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função mostra um crescimento exponencial acelerado conforme
aumenta, tendendo ao infinito.
Exercícios relacionados
Usando substituição, calcule:
(a) Se
e (
são ambas limitadas, então
é limitada. (V)
(b) Se e (
são ambas não limitadas, então
é não limitada. (F)
© Se e (
são ambas limitadas, então
é limitada. (V)
(d) Se é limitada, então
é convergente. (F)
(e) e (
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
(f) Se e
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
(g) Se e
são ambas divergentes, então
é divergente. (F)
(h) Se é convergente, então (
é convergente. (F)
(b) Se
© Se
(d) Se
(e)
(f) Se
(g) Se
(h) Se
Considere o sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a solução
deste problema, para
.
b) Faça o gráfico da solução , em função de
, para
,
. Compare os resultados com os do problema anterior, ou seja, descreva o efeito das condições iniciais não nulas.
b) Faça o gráfico da solução