São dadas as coordenadas de u e v em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre u e v. u=(3,3,0), v=(2,1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a medida angular entre dois vetores u e v em radianos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve produto interno (ou produto escalar) e normas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Calcular o produto interno entre u e v.
  • Calcular as normas (comprimentos) de cada vetor.
  • Usar a fórmula do ângulo entre vetores usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno entre u e v. O produto interno de dois vetores é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando esses resultados. Então, para u = (3, 3, 0) e v = (2, 1, -2):
u cdot v = (3)(2) + (3)(1) + (0)(-2) = 6 + 3 + 0 = 9

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para u = (3, 3, 0):
|u| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 + 0 = raiz18 = 3raiz2

Passo 4

Agora, calculamos a norma de v = (2, 1, -2):
|v| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 5

Com o produto interno e as normas, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores:
cos theta = 93raiz2 times 3 = 99raiz2 = 1raiz2

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arccos (ou cosseno inverso):
theta = arccos(1raiz2)
Sabemos que arccos(1raiz2) = pi4 radianos.

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de pi4 radianos.

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