São dadas as coordenadas de e em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre e . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a medida angular entre dois vetores e em radianos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve produto interno (ou produto escalar) e normas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Calcular o produto interno entre e .
  • Calcular as normas (comprimentos) de cada vetor.
  • Usar a fórmula do ângulo entre vetores usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno entre e . O produto interno de dois vetores é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando esses resultados. Então, para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor é dada por:
Para :

Passo 4

Agora, calculamos a norma de :

Passo 5

Com o produto interno e as normas, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores:
Substituindo os valores:

Passo 6

Para encontrar o ângulo , usamos a função arccos (ou cosseno inverso):
Sabemos que radianos.

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de radianos.

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