Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular (2 v-u) cdot(2 v)

Passo 1

Então, a gente tem duas vetores, e , com magnitudes e . Além disso, sabemos que o produto interno entre eles é . O que queremos é calcular o produto interno de com . Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades do produto interno e como a distributiva funciona com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto interno usando a propriedade distributiva. A gente tem:
(2v - u) cdot (2v) = 2v cdot 2v - u cdot 2v
Isso significa que a gente vai calcular dois termos separadamente.

Passo 3

Vamos calcular o primeiro termo, 2v cdot 2v = 4 (v cdot v) = 4 |v|^2 . Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude. Então:
4 |v|^2 = 4 times 3^2 = 4 times 9 = 36
Como , substituímos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo termo, u cdot 2v = 2 (u cdot v) . Usando a propriedade de que o escalar pode ser puxado para fora, temos:
2 (u cdot v) = 2 times (-1) = -2
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, juntamos os dois termos que calculamos:
(2v - u) cdot (2v) = 36 - (-2) = 36 + 2 = 38

Resposta

O valor de é 38.

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