Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os conjuntos
e
são subespaços vetoriais. Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que definem se um conjunto é ou não um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa
. Geralmente,
representa o espaço vetorial tridimensional de números reais. Supondo que
seja similar a
, estamos falando do conjunto de todos os vetores de três dimensões com componentes reais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar esses critérios a cada um dos conjuntos
e
.
Passo 4
Analisando o conjunto
:
- Contém o vetor zero: Sim, o vetor
está em . - Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer
e em , sua soma será , que também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor
por um escalar , teremos , que pertence a .
Como todos os três critérios são atendidos,
é um subespaço vetorial.
Passo 5
Analisando o conjunto
:
- Contém o vetor zero: Substituindo
, , na equação, temos , então o vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se temos dois vetores
e em , então: Somando essas equações: Portanto, a soma também satisfaz a equação e está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicamos um vetor
em por um escalar , temos: Portanto, também está em .
Como todos os critérios são satisfeitos,
é um subespaço vetorial.
Resposta
Ambos os conjuntos
e
são subespaços vetoriais.