Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: V=I^3 e S=(x, y, z) mid 2 x+3 y-4 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os conjuntos e são subespaços vetoriais. Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que definem se um conjunto é ou não um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa . Geralmente, representa o espaço vetorial tridimensional de números reais. Supondo que seja similar a , estamos falando do conjunto de todos os vetores de três dimensões com componentes reais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar esses critérios a cada um dos conjuntos e .

Passo 4

Analisando o conjunto :
  1. Contém o vetor zero: Sim, o vetor está em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer e em , sua soma será , que também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor por um escalar , teremos , que pertence a .
Como todos os três critérios são atendidos, é um subespaço vetorial.

Passo 5

Analisando o conjunto 2x1 + 3y1 - 4z1 = 0 e 2x2 + 3y2 - 4z2 = 0 :
  1. Contém o vetor zero: Substituindo 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2) - 4(z1 + z2) = 0 , 2(kx) + 3(ky) - 4(kz) = k(2x + 3y - 4z) = k cdot 0 = 0 , na equação, temos , então o vetor zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se temos dois vetores e em , então: Somando essas equações: Portanto, a soma também satisfaz a equação e está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicamos um vetor em por um escalar , temos: Portanto, também está em .
Como todos os critérios são satisfeitos, é um subespaço vetorial.

Resposta

Ambos os conjuntos e são subespaços vetoriais.

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