Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os conjuntos e são subespaços vetoriais. Isso entra no conteúdo de **Álgebra Linear**, mais especificamente no estudo de **espaços vetoriais** e **subespaços**. Para resolver, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que definem se um conjunto é ou não um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa . Geralmente, representa o espaço vetorial tridimensional de números reais. Supondo que seja similar a , estamos falando do conjunto de todos os vetores de três dimensões com componentes reais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são os **critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial**: 1. **Contém o vetor zero**: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto. 2. **Fechado sob adição**: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto. 3. **Fechado sob multiplicação por escalar**: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto. Vamos aplicar esses critérios a cada um dos conjuntos e .

Passo 4

**Analisando o conjunto :** 1. **Contém o vetor zero**: Sim, o vetor está em . 2. **Fechado sob adição**: Se pegarmos dois vetores quaisquer e em , sua soma será , que também está em . 3. **Fechado sob multiplicação por escalar**: Se multiplicarmos qualquer vetor por um escalar , teremos , que pertence a . Como todos os três critérios são atendidos, ** é um subespaço vetorial**.

Passo 5

**Analisando o conjunto :** 1. **Contém o vetor zero**: Substituindo , , na equação, temos , então o vetor zero está em . 2. **Fechado sob adição**: Se temos dois vetores e em , então: Somando essas equações: Portanto, a soma também satisfaz a equação e está em . 3. **Fechado sob multiplicação por escalar**: Se multiplicamos um vetor em por um escalar , temos: Portanto, também está em . Como todos os critérios são satisfeitos, ** é um subespaço vetorial**.

Resposta

Ambos os conjuntos e são subespaços vetoriais.

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