Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os conjuntos e são subespaços vetoriais. Isso entra no conteúdo de **Álgebra Linear**, mais especificamente no estudo de **espaços vetoriais** e **subespaços**. Para resolver, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que definem se um conjunto é ou não um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa . Geralmente, representa o espaço vetorial tridimensional de números reais. Supondo que seja similar a , estamos falando do conjunto de todos os vetores de três dimensões com componentes reais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são os **critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial**:
1. **Contém o vetor zero**: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
2. **Fechado sob adição**: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
3. **Fechado sob multiplicação por escalar**: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar esses critérios a cada um dos conjuntos e .
Passo 4
**Analisando o conjunto :**
1. **Contém o vetor zero**: Sim, o vetor está em .
2. **Fechado sob adição**: Se pegarmos dois vetores quaisquer e em , sua soma será , que também está em .
3. **Fechado sob multiplicação por escalar**: Se multiplicarmos qualquer vetor por um escalar , teremos , que pertence a .
Como todos os três critérios são atendidos, ** é um subespaço vetorial**.
Passo 5
**Analisando o conjunto :**
1. **Contém o vetor zero**: Substituindo , , na equação, temos , então o vetor zero está em .
2. **Fechado sob adição**: Se temos dois vetores e em , então:
Somando essas equações:
Portanto, a soma também satisfaz a equação e está em .
3. **Fechado sob multiplicação por escalar**: Se multiplicamos um vetor em por um escalar , temos:
Portanto, também está em .
Como todos os critérios são satisfeitos, ** é um subespaço vetorial**.
Resposta
Ambos os conjuntos e são subespaços vetoriais.
Exercícios relacionados
São dadas as coordenadas de e em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre e . .
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .
Sabendo que e , calcular
Considere o conjunto . Determine a) , isto é, o subespaço gerado por ;