Verifique: Se A e B são eventos independentes e disjuntos, então P(A)=0 ou P(B)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa verificar se, quando dois eventos e são independentes e mutuamente exclusivos (ou disjuntos), então necessariamente a probabilidade de pelo menos um deles ser zero. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de eventos independentes e mutuamente exclusivos na teoria da probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada um desses conceitos. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso é expresso como:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Já dois eventos são mutuamente exclusivos (ou disjuntos) se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. Ou seja:
P(A cap B) = 0

Passo 3

Agora, como P(A) times P(B) = 0 e são ambos independentes e mutuamente exclusivos, podemos igualar as duas expressões para :

Passo 4

A única maneira desse produto ser igual a zero é se pelo menos um dos fatores for zero. Portanto:
P(A) = 0 ou P(B) = 0

Resposta

P(A) = 0 ou P(B) = 0

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