São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. Uma bola é então extraída ao acaso, da urna B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas urnas, a A e a B. Na urna A tem uma bola preta e uma vermelha, e na urna B tem duas pretas e três vermelhas. Primeiro, a gente vai mexer na urna A, tirar uma bola de lá e colocar na urna B. Depois, vamos tirar uma bola da urna B. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A probabilidade de que as duas bolas tiradas sejam da mesma cor.
b) A probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo que a segunda foi preta.
b) A probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo que a segunda foi preta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como probabilidade condicional e regra da soma.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A gente quer saber a chance das duas bolas serem da mesma cor. Isso pode acontecer de duas maneiras: as duas sendo pretas ou as duas sendo vermelhas.
Primeiro, vamos ver o que acontece quando tiramos uma bola da urna A e colocamos na urna B.
Na urna A, temos:
- 1 bola preta
- 1 bola vermelha
Então, a probabilidade de tirar uma preta da urna A é 1/2, e a de tirar uma vermelha também é 1/2.
Passo 3
Agora, dependendo de qual bola a gente tirou da urna A, a composição da urna B muda.
Caso 1: Tirou uma bola preta da urna A.
- Urna B agora tem: 2 + 1 = 3 pretas e 3 vermelhas.
- Total de bolas na urna B: 6.
Caso 2: Tirou uma bola vermelha da urna A.
- Urna B agora tem: 2 pretas e 3 + 1 = 4 vermelhas.
- Total de bolas na urna B: 6.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas da mesma cor em cada caso.
Caso 1: Duas pretas.
- Probabilidade de tirar preta da urna A: 1/2.
- Depois, de tirar preta da urna B: 3/6 = 1/2.
- Probabilidade conjunta: (1/2) * (1/2) = 1/4.
Caso 2: Duas vermelhas.
- Probabilidade de tirar vermelha da urna A: 1/2.
- Depois, de tirar vermelha da urna B: 4/6 = 2/3.
- Probabilidade conjunta: (1/2) * (2/3) = 1/3.
Passo 5
Agora, somamos as probabilidades dos dois casos para achar a probabilidade total das bolas serem da mesma cor.
Probabilidade total = Probabilidade de duas pretas + Probabilidade de duas vermelhas
= 1/4 + 1/3
= 3/12 + 4/12
= 7/12
= 1/4 + 1/3
= 3/12 + 4/12
= 7/12
Passo 6
Vamos para a parte (b). Queremos saber a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, dado que a segunda foi preta. Isso é uma probabilidade condicional, e usamos a fórmula:
Onde:
-
é a probabilidade da primeira bola ser vermelha dado que a segunda foi preta. -
é a probabilidade de a primeira bola ser vermelha e a segunda preta. -
é a probabilidade da segunda bola ser preta.
Passo 7
Primeiro, vamos calcular
.
Para a primeira bola ser vermelha e a segunda preta:
- Tirar vermelha da urna A: 1/2.
- Colocar na urna B: urna B fica com 2 pretas e 4 vermelhas.
- Tirar preta da urna B: 2/6 = 1/3.
- Probabilidade conjunta: (1/2) * (1/3) = 1/6.
Passo 8
Agora, vamos calcular
, a probabilidade da segunda bola ser preta.
Isso pode acontecer de duas maneiras:
- Tirar preta da urna A e preta da urna B.
- Tirar vermelha da urna A e preta da urna B.
Primeira maneira:
- Tirar preta da urna A: 1/2.
- Urna B com 3 pretas e 3 vermelhas.
- Tirar preta da urna B: 3/6 = 1/2.
- Probabilidade: (1/2) * (1/2) = 1/4.
Segunda maneira:
- Tirar vermelha da urna A: 1/2.
- Urna B com 2 pretas e 4 vermelhas.
- Tirar preta da urna B: 2/6 = 1/3.
- Probabilidade: (1/2) * (1/3) = 1/6.
Então,
.
Passo 9
Agora, aplicando na fórmula:
Resposta
(a) A probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor é
.
(b) A probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta, é .
(b) A probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta, é
Exercícios relacionados
Três máquinas
e
produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Se
e
. Calcular
.
R. 0,28 .
R. 0,28 .
Qual é a porcentagem dos valores que estão acima do nível 70.
Verifique as seguintes fórmulas para dados tabulados.
.