Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 40 %, 50 % e 10 % do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3 %, 5 % e 2 %. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B ?
R 25 / 39 approx 0,6410

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre três máquinas, A, B e C, que produzem diferentes porcentagens do total de peças em uma fábrica. Além disso, cada máquina tem uma taxa diferente de peças defeituosas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de uma peça defeituosa ter vindo da máquina B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a regra de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Máquina A produz 40% das peças, com 3% defeituosas.
  • Máquina B produz 50% das peças, com 5% defeituosas.
  • Máquina C produz 10% das peças, com 2% defeituosas.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de uma peça defeituosa ter vindo da máquina B. Isso é uma probabilidade condicional, que podemos calcular usando a fórmula de Bayes:
P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D)
Onde:
  • é a probabilidade de vir da máquina B, dado que é defeituosa.
  • é a probabilidade da peça ser defeituosa se veio da máquina B.
  • é a probabilidade de uma peça vir da máquina B.
  • é a probabilidade geral de uma peça ser defeituosa.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses valores:
  1. P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)
  2. P(D) = 0,03 cdot 0,40 + 0,05 cdot 0,50 + 0,02 cdot 0,10
  3. Para encontrar , usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando P(D) = 0,03 times 0,40 = 0,012 P(D) = 0,05 times 0,50 = 0,025 P(D) = 0,02 times 0,10 = 0,002 :
P(D) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039
Somando tudo:
Então, ou 3,9%.

Passo 6

Agora, podemos substituir esses valores na fórmula de Bayes:
P(B|D) = 0,05 times 0,500,039 = 0,0250,039 approx 0,6410

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é aproximadamente 0,6410, ou seja, 64,10%.

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