Três máquinas
e
produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre três máquinas, A, B e C, que produzem diferentes porcentagens do total de peças em uma fábrica. Além disso, cada máquina tem uma taxa diferente de peças defeituosas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de uma peça defeituosa ter vindo da máquina B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a regra de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Máquina A produz 40% das peças, com 3% defeituosas.
- Máquina B produz 50% das peças, com 5% defeituosas.
- Máquina C produz 10% das peças, com 2% defeituosas.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de uma peça defeituosa ter vindo da máquina B. Isso é uma probabilidade condicional, que podemos calcular usando a fórmula de Bayes:
Onde:
-
é a probabilidade de vir da máquina B, dado que é defeituosa. -
é a probabilidade da peça ser defeituosa se veio da máquina B. -
é a probabilidade de uma peça vir da máquina B. -
é a probabilidade geral de uma peça ser defeituosa.
Passo 4
Vamos calcular cada um desses valores:
-
-
- Para encontrar
, usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando
:
Somando tudo:
Então,
ou 3,9%.
Passo 6
Agora, podemos substituir esses valores na fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é aproximadamente 0,6410, ou seja, 64,10%.
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Se
e
. Calcular
.
R. 0,28 .
R. 0,28 .
Considere um conjunto de 4 números dos quais nenhum é zero, dois são positivos e dois negativos. Sorteamos ao acaso, com reposição, 2 números desse conjunto. Determine a probabilidade de
(a) Um deles ser negativo
(b) O quociente ser negativo.
© Os dois números terem o mesmo sinal.
(a) Um deles ser negativo
(b) O quociente ser negativo.
© Os dois números terem o mesmo sinal.
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(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.
Qual é a porcentagem dos valores que estão acima do nível 70.