Três máquinas e produzem respectivamente e do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são e . Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina ?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre três máquinas, A, B e C, que produzem diferentes porcentagens do total de peças em uma fábrica. Além disso, cada máquina tem uma taxa diferente de peças defeituosas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de uma peça defeituosa ter vindo da máquina B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a regra de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Máquina A produz 40% das peças, com 3% defeituosas.
  • Máquina B produz 50% das peças, com 5% defeituosas.
  • Máquina C produz 10% das peças, com 2% defeituosas.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de uma peça defeituosa ter vindo da máquina B. Isso é uma probabilidade condicional, que podemos calcular usando a fórmula de Bayes:
Onde:
  • é a probabilidade de vir da máquina B, dado que é defeituosa.
  • é a probabilidade da peça ser defeituosa se veio da máquina B.
  • é a probabilidade de uma peça vir da máquina B.
  • é a probabilidade geral de uma peça ser defeituosa.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses valores:
  1. Para encontrar , usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando :
Somando tudo:
Então, ou 3,9%.

Passo 6

Agora, podemos substituir esses valores na fórmula de Bayes:

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é aproximadamente 0,6410, ou seja, 64,10%.

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Se e . Calcular .
R. 0,28 .
Considere um conjunto de 4 números dos quais nenhum é zero, dois são positivos e dois negativos. Sorteamos ao acaso, com reposição, 2 números desse conjunto. Determine a probabilidade de
(a) Um deles ser negativo
(b) O quociente ser negativo.
© Os dois números terem o mesmo sinal.
São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. Uma bola é então extraída ao acaso, da urna B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.
Qual é a porcentagem dos valores que estão acima do nível 70.