São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo . Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . A missão aqui é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou dependentes no intervalo de todos os números reais usando o Wronskiano. Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. É uma matriz formada pelas funções e suas derivadas até a ordem que a equação diferencial exige. No nosso caso, como a EDO é de terceira ordem, vamos precisar até a segunda derivada de cada função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano usando essas funções e suas derivadas:
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Resposta
Como o Wronskiano é diferente de zero em todo o intervalo (exceto em , onde as funções não estão definidas), podemos concluir que as funções , e são linearmente independentes nesse intervalo.