São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(x)=x, f2(x)=x^2, f3(x)=x^(-1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . A missão aqui é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou dependentes no intervalo de todos os números reais usando o Wronskiano. Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. É uma matriz formada pelas funções e suas derivadas até a ordem que a equação diferencial exige. No nosso caso, como a EDO é de terceira ordem, vamos precisar até a segunda derivada de cada função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano usando essas funções e suas derivadas:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz:

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero em todo o intervalo (exceto em , onde as funções não estão definidas), podemos concluir que as funções , e são linearmente independentes nesse intervalo.

Exercícios relacionados

Ache a solucao narticular de: y'' - y' - 2y = 10 cos(t)
São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(t) = 2t - 3, f2(t) = t^2 + 1, f3(t) = 2t^2 - t;
Ache a solucao geral de
y'' - 4y' + 3y = e^(3t)
Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
x^3 y'''' + 6 x^2 y'' + 4 x y' - 4 y = 0, x > 0;
y(1)=0, y'(1)=0, y''(1)=1, y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=x^(-2) ln(x)