São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles têm essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em
. h.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
, que é o plano cartesiano, com duas operações: soma vetorial e multiplicação por escalar. A soma está definida como
e a multiplicação por escalar como
. Nosso objetivo é descobrir se essas operações estão bem definidas para todos os elementos de
e se elas cumprem os axiomas de um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar revisar os axiomas de espaços vetoriais e verificar cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se as operações estão bem definidas, ou seja, se ao somar dois vetores de
, o resultado também está em
, e o mesmo para a multiplicação por escalar.
Considerando a soma:
Os resultados de
e
são números reais, já que
. Portanto, a soma está bem definida dentro de
.
Para a multiplicação por escalar:
Multiplicando um número real
por
e
, obtemos novamente números reais. Assim, a multiplicação por escalar também está bem definida em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar os axiomas de um espaço vetorial. Para isso, vamos lembrar dos principais:
- Comutatividade da soma:
- Associatividade da soma:
- Existência do elemento neutro: Existe um vetor
tal que - Existência de inversos aditivos: Para todo
, existe tal que - Distributividade da multiplicação sobre a soma vetorial:
- Distributividade da multiplicação sobre a soma de escalares:
- Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas.
Passo 4
1. Comutatividade da soma:
Vamos somar dois vetores
e
:
E também:
Como a adição de números reais é comutativa (
e
), temos:
Logo, a soma é comutativa.
Passo 5
2. Associatividade da soma:
Vamos considerar três vetores
,
e
.
Primeiro, somamos
:
Agora, somamos esse resultado com
:
Agora, somamos
:
E somamos
com esse resultado:
Como
, a soma é associativa.
Passo 6
3. Existência do elemento neutro:
Precisamos encontrar um vetor
tal que, para qualquer
:
Aplicando a definição da soma:
Isso implica que:
Simplificando:
Portanto, o elemento neutro seria
. Vamos verificar:
Funciona! Então, existe um elemento neutro.
Passo 7
4. Existência de inversos aditivos:
Para qualquer
, precisamos encontrar um vetor
tal que:
Aplicando a soma:
Isso implica:
Então, o inverso aditivo de
é
. Verificando:
Espere aí! Isso não resulta no elemento neutro
. Na verdade, o inverso aditivo não está funcionando como deveria.
Passo 8
Conclusão sobre os axiomas:
Nós percebemos que, embora as operações estejam bem definidas e alguns axiomas como comutatividade e associatividade da soma sejam satisfeitos, não conseguimos encontrar um inverso aditivo que funcione corretamente. Isso significa que o conjunto
com as operações dadas não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.
Resposta
Portanto,
com as operações definidas não é um espaço vetorial, já que não satisfaz o axioma da existência de inversos aditivos.