São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles têm essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V. c.) V=R^2 ni x=(x, y),(x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime), lambda(x, y)=(2 lambda x, 2 lambda y) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos o conjunto , que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais . Precisamos verificar se as operações de soma vetorial e multiplicação escalar estão bem definidas para todos os elementos de e se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são obedecidas. Para isso, vamos analisar cada operação e verificar os axiomas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a soma vetorial está bem definida. A soma de dois vetores e está definida como . Como somar dois números reais sempre dá outro número real, a soma está bem definida em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a multiplicação escalar. A multiplicação de um escalar por um vetor está definida como . Aqui, multiplicamos cada componente do vetor por , que também é um número real. Então, a multiplicação escalar também está bem definida em .

Passo 4

Com as operações bem definidas, vamos verificar os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial deve satisfazer dez axiomas, mas vamos focar nos principais:
  1. Associatividade da soma: . Isso é verdadeiro aqui porque a soma de vetores em é associativa.
  2. Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero tal que . Isso também é válido.
  3. Comutatividade da soma: . Isso é verdade na soma vetorial padrão.
  4. Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares: . Vamos verificar isso a seguir.

Passo 5

Vamos testar o quarto axioma mencionado. Se multiplicarmos um vetor a(bv) = a(2b x, 2b y) = (2a cdot 2b x, 2a cdot 2b y) = (4ab x, 4ab y) por um escalar (ab)v = (2ab x, 2ab y) e depois por , temos:
Por outro lado,
Claramente, a menos que ou sejam zero, o que não é sempre o caso. Portanto, o axioma não é satisfeito.

Resposta

O conjunto com as operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas está bem definido para todos os seus elementos. No entanto, não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, especificamente falha no axioma de compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares, pois . Portanto, não é um espaço vetorial real.

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