São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles têm essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V. d.) V=R com as operações usuais de soma e multiplicação em R;

Passo 1

Vamos analisar o item d) do exercício, que pede para verificar se o conjunto com as operações usuais de soma e multiplicação é um espaço vetorial. O assunto aqui é Espaços Vetoriais, e para resolver isso, vamos precisar entender o que são as operações de soma vetorial e multiplicação escalar, além dos axiomas que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as operações no conjunto :
  • Soma Vetorial: Para quaisquer dois números reais e , a soma é simplesmente .
  • Multiplicação Escalar: Para um número real (escalar) e , a multiplicação escalar é .
Essas operações são as operações usuais que conhecemos no conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas operações estão bem definidas para todos os elementos de . Como estamos lidando com números reais e usando as operações usuais, toda soma de dois reais é um real, e a multiplicação de um real por outro real também resulta em um real. Portanto, as operações estão bem definidas em .

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar se satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre os números reais. Os principais axiomas a serem verificados são:
  1. Associatividade da Soma:
  2. Comutatividade da Soma:
  3. Elemento Neutro da Soma: Existe um elemento tal que
  4. Elemento Inverso da Soma: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da Multiplicação Escalar:
  6. Identidade da Multiplicação Escalar:
  7. Distributividade da Multiplicação Escalar em relação à Soma Vetorial:
  8. Distributividade da Multiplicação Escalar em relação à Soma de Escalares:
Vamos verificar cada um desses axiomas:
  • Associatividade da Soma: A soma de números reais é associativa.
  • Comutatividade da Soma: A soma de números reais é comutativa.
  • Elemento Neutro da Soma: O número age como elemento neutro na soma.
  • Elemento Inverso da Soma: Para todo , o inverso é .
  • Compatibilidade da Multiplicação Escalar: A multiplicação de escalares reais é compatível.
  • Identidade da Multiplicação Escalar: O número atua como identidade na multiplicação escalar.
  • Distributividade da Multiplicação Escalar em relação à Soma Vetorial: A multiplicação escalar distribui sobre a soma vetorial.
  • Distributividade da Multiplicação Escalar em relação à Soma de Escalares: A soma de escalares distribui sobre a multiplicação vetorial.
Como todas essas propriedades são verdadeiras no conjunto dos números reais com as operações usuais, todas as condições para ser um espaço vetorial são satisfeitas.

Resposta

O conjunto com as operações usuais de soma e multiplicação é um espaço vetorial sobre os números reais.

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