Quais são as propriedades de matrizes inversas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente entender quais são as propriedades das matrizes inversas. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma matriz inversa e como ela funciona junto com outras matrizes. Vamos descobrir juntas as principais características dessas matrizes especiais!

Passo 2

Primeiro, é importante saber que só matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas) podem ter inversa. E não é qualquer matriz quadrada que tem inversa; ela precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.

Passo 3

Uma das propriedades mais legais é que a inversa de uma inversa te dá de volta a matriz original. Em termos matemáticos, se é uma matriz inversível e é a sua inversa, então:
Isso significa que se você inverter duas vezes, retorna ao começo!

Passo 4

Outra propriedade fundamental é que quando você multiplica uma matriz pela sua inversa, o resultado é a matriz identidade. A matriz identidade é tipo o “1” das matrizes, ela não muda outras matrizes quando multiplicada. Então:
Onde é a matriz identidade.

Passo 5

Agora, se a gente tem duas matrizes inversíveis, digamos e , a inversa do produto delas é igual ao produto das inversas, mas na ordem inversa. Isso quer dizer:
A ordem de multiplicação inverte!

Passo 6

Outra propriedade importante envolve a transposta da matriz inversa. A transposta é quando a gente troca as linhas pelas colunas. A inversa da transposta de é igual à transposta da inversa de :
Isso facilita muito em alguns cálculos.

Passo 7

Além disso, a multiplicação de matrizes inversas com a matriz identidade funciona da seguinte maneira: se você tem , então é a inversa de e vice-versa. Isso reforça a ideia de que a inversa “desfaz” a multiplicação original.

Resposta

Então, resumindo, as propriedades das matrizes inversas são:
  1. Existência: Só matrizes quadradas não singulares têm inversa.
  2. Inversa da Inversa: .
  3. Produto com a Inversa: .
  4. Inversa de um Produto: .
  5. Transposta da Inversa: .
  6. Relacionamento com a Identidade: Se , então e .
Essas propriedades são essenciais para trabalhar com matrizes inversas de forma eficiente na Álgebra Linear!

Exercícios relacionados

Seja .
b) Determine uma matriz tal que , em que .
Resolva o sistema , em que e .
Qual a relação entre determinantes e a solução de sistemas lineares?
Usando as propriedades do determinante, calcule o determinante das matrizes:
a)