São retiradas e recolocadas uma a uma, aleatoriamente, bolas de uma urna até obter-se a primeira bola branca. Mas a cada tentativa dobra-se a quantidade de bolas azuis da urna. Sabendo que inicialmente a urna contém 4 bolas azuis e 6 brancas, calcular a probabilidade de obter-se a primeira bola branca no máximo na 3^a tentativa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna que inicialmente contém 4 bolas azuis e 6 bolas brancas, totalizando 10 bolas. A cada tentativa, uma bola é retirada e depois recolocada na urna. Além disso, depois de cada retirada, a quantidade de bolas azuis na urna dobra. Queremos calcular a probabilidade de tirar a primeira bola branca no máximo na terceira tentativa.
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a probabilidade de eventos independentes e a regra do produto para eventos consecutivos.

Passo 2

Primeira Tentativa:
Na primeira tentativa, a urna tem 4 bolas azuis e 6 bolas brancas, totalizando 10 bolas.
A probabilidade de tirar uma bola branca na primeira tentativa é:
P1 = 610 = 35

Passo 3

Segunda Tentativa:
Se não tirarmos uma bola branca na primeira tentativa, a quantidade de bolas azuis dobra, passando de 4 para 8 bolas azuis. Então, na segunda tentativa, a urna terá 8 bolas azuis e 6 bolas brancas, totalizando 14 bolas.
A probabilidade de não tirar uma bola branca na primeira tentativa e então tirar uma bola branca na segunda tentativa é:
P2 = (410) times (614) = 410 times 37 = 1270 = 635

Passo 4

Terceira Tentativa:
Se não tirarmos uma bola branca nas duas primeiras tentativas, a quantidade de bolas azuis dobra novamente, passando de 8 para 16 bolas azuis. Na terceira tentativa, a urna terá 16 bolas azuis e 6 bolas brancas, totalizando 22 bolas.
A probabilidade de não tirar uma bola branca nas duas primeiras tentativas e então tirar uma bola branca na terceira tentativa é:
P3 = (410) times (814) times (622) = 410 times 47 times 311 = 48770 = 24385

Resposta

A probabilidade de obter a primeira bola branca no máximo na terceira tentativa é a soma das probabilidades das três tentativas:
Ptotal = P1 + P2 + P3 = 35 + 635 + 24385 = 321385 approx 0,834
Portanto, a probabilidade desejada é de ou aproximadamente 83,4%.

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