Uma esfera maciça uniforme de raio R produz uma aceleração em sua superfície. A que distância do centro da esfera está o ponto (a) do lado de dentro e (b) do lado de fora da esfera no qual a aceleração gravitacional é ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera maciça e uniforme com raio que gera uma aceleração gravitacional na sua superfície. Queremos descobrir a que distância do centro dessa esfera, tanto dentro quanto fora dela, a aceleração gravitacional é . Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como a aceleração gravitacional varia dentro e fora de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a aceleração gravitacional fora da esfera. A Lei da Gravitação Universal nos diz que a aceleração a uma distância do centro de uma massa é dada por:
onde é a constante gravitacional.

Passo 3

Agora, como a esfera é uniforme, podemos considerar que toda a massa está distribuída de forma homogênea. Na superfície da esfera ( ), a aceleração gravitacional é , então:
Isso vai nos ajudar a relacionar com e .

Passo 4

Vamos resolver a parte (b) primeiro, que é do lado de fora da esfera. Queremos encontrar tal que :
Mas sabemos que (da Passo 3), então substituindo:
Simplificando :
Então, do lado de fora da esfera, .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (a), que é do lado de dentro da esfera. A aceleração gravitacional dentro de uma esfera uniforme a uma distância do centro é dada por:
Queremos que :
Novamente, substituímos :
Simplificando :
Então, do lado de dentro da esfera, .

Resposta

(a) O ponto está a uma distância do centro da esfera.
(b) O ponto está a uma distância do centro da esfera.

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