Uma esfera maciça uniforme de raio R produz uma aceleração ag em sua superfície. A que distância do centro da esfera está o ponto (a) do lado de dentro e (b) do lado de fora da esfera no qual a aceleração gravitacional é ag / 4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera maciça e uniforme com raio que gera uma aceleração gravitacional na sua superfície. Queremos descobrir a que distância do centro dessa esfera, tanto dentro quanto fora dela, a aceleração gravitacional é . Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como a aceleração gravitacional varia dentro e fora de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a aceleração gravitacional fora da esfera. A Lei da Gravitação Universal nos diz que a aceleração g(r) = G Mr^2 a uma distância do centro de uma massa é dada por:
onde é a constante gravitacional.

Passo 3

Agora, como a esfera é uniforme, podemos considerar que toda a massa ag = G MR^2 está distribuída de forma homogênea. Na superfície da esfera ( ), a aceleração gravitacional é , então:
Isso vai nos ajudar a relacionar com e .

Passo 4

Vamos resolver a parte (b) primeiro, que é do lado de fora da esfera. Queremos encontrar ag4 = G Mr^2 tal que ag4 = ag R^2r^2 :
14 = R^2r^2 Rightarrow r^2 = 4 R^2 Rightarrow r = 2 R
Mas sabemos que (da Passo 3), então substituindo:
Simplificando :
Então, do lado de fora da esfera, .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (a), que é do lado de dentro da esfera. A aceleração gravitacional dentro de uma esfera uniforme a uma distância g(r) = G M rR^3 do centro é dada por:
ag4 = G M rR^3
Queremos que ag4 = ag R^2 rR^3 Rightarrow ag4 = ag rR :
14 = rR Rightarrow r = R4
Novamente, substituímos :
Simplificando :
Então, do lado de dentro da esfera, .

Resposta

(a) O ponto está a uma distância do centro da esfera.
(b) O ponto está a uma distância do centro da esfera.

Exercícios relacionados