Uma esfera maciça uniforme de raio R produz uma aceleração
em sua superfície. A que distância do centro da esfera está o ponto (a) do lado de dentro e (b) do lado de fora da esfera no qual a aceleração gravitacional é
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera maciça e uniforme com raio
que gera uma aceleração gravitacional
na sua superfície. Queremos descobrir a que distância do centro dessa esfera, tanto dentro quanto fora dela, a aceleração gravitacional é
. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como a aceleração gravitacional varia dentro e fora de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a aceleração gravitacional fora da esfera. A Lei da Gravitação Universal nos diz que a aceleração
a uma distância
do centro de uma massa
é dada por:
onde
é a constante gravitacional.
Passo 3
Agora, como a esfera é uniforme, podemos considerar que toda a massa
está distribuída de forma homogênea. Na superfície da esfera (
), a aceleração gravitacional é
, então:
Isso vai nos ajudar a relacionar
com
e
.
Passo 4
Vamos resolver a parte (b) primeiro, que é do lado de fora da esfera. Queremos encontrar
tal que
:
Mas sabemos que
(da Passo 3), então substituindo:
Simplificando
:
Então, do lado de fora da esfera,
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (a), que é do lado de dentro da esfera. A aceleração gravitacional dentro de uma esfera uniforme a uma distância
do centro é dada por:
Queremos que
:
Novamente, substituímos
:
Simplificando
:
Então, do lado de dentro da esfera,
.
Resposta
(a) O ponto está a uma distância
do centro da esfera.
(b) O ponto está a uma distância do centro da esfera.
(b) O ponto está a uma distância
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