Escreva na forma
sumn=1^infty kf(n), k in R
a série cuja n-ésima soma parcial é dada por Sn=14-1n+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever uma série na forma onde é um número real, dado que a soma parcial da série é . Vamos usar conceitos de séries e somas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial de uma série é a soma dos primeiros termos da série. Ou seja, , onde é o termo geral da série.

Passo 3

Para encontrar o termo geral an = Sn - Sn-1 , podemos usar a relação entre somas parciais consecutivas:
Isso significa que o termo é a diferença entre a soma dos primeiros termos e a soma dos primeiros termos.

Passo 4

Vamos calcular an = Sn - Sn-1 = (14 - 1n+4) - (14 - 1(n-1)+4) :
an = (14 - 1n+4) - (14 - 1n+3) = 1n+3 - 1n+4
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos simplificar an = 1n+3 - 1n+4 = (n+4) - (n+3)(n+3)(n+4) = 1(n+3)(n+4) :
an = 1(n+3)(n+4)
Então, o termo geral da série é:

Passo 6

Comparando com a forma pedida kf(n) = 1(n+3)(n+4) vemos que:
Isso implica que e .

Resposta

A série pode ser escrita na forma .

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