Escreva na forma
a série cuja
-ésima soma parcial é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever uma série na forma
onde
é um número real, dado que a soma parcial da série é
. Vamos usar conceitos de séries e somas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial
de uma série é a soma dos primeiros
termos da série. Ou seja,
, onde
é o termo geral da série.
Passo 3
Para encontrar o termo geral
, podemos usar a relação entre somas parciais consecutivas:
Isso significa que o termo
é a diferença entre a soma dos primeiros
termos e a soma dos primeiros
termos.
Passo 4
Vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos simplificar
:
Então, o termo geral da série é:
Passo 6
Comparando com a forma pedida
vemos que:
Isso implica que
e
.
Resposta
A série pode ser escrita na forma
.