A série
sumn=1^infty n^2(3 n-1)^2
converge?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty n^2(3n-1)^2
O conteúdo aqui é sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos da série se comportam conforme cresce e usar testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
an = n^2(3n - 1)^2
Para entender se a série converge, precisamos ver o que acontece com quando fica muito grande (tende ao infinito).

Passo 3

Vamos simplificar an approx n^2(3n)^2 = n^29n^2 = 19 para valores grandes de . Quando é grande, é aproximadamente igual a . Então, podemos aproximar assim:
Isso significa que, para muito grande, cada termo da série fica próximo de .

Passo 4

Agora, vamos lembrar que para uma série infinita limn to infty an = 0 convergir, o limite de limn to infty n^2(3n - 1)^2 = 19 neq 0 quando tende ao infinito deve ser zero. Ou seja:
No nosso caso:

Passo 5

Como o limite de não é zero, podemos concluir, usando o Teste da Divergência, que a série não converge.

Resposta

A série não converge.

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