Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções: y = 2 + 3 x - x^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos fazer um esboço do gráfico da função . Isso envolve desenhar o gráfico dessa função utilizando conceitos de álgebra, como interceptações, comportamento da função e pontos críticos. Para isso, vamos precisar conhecer como identificar interceptos, calcular derivadas para encontrar máximos e mínimos, e entender o comportamento da função para grande e pequeno.

Passo 2

Vamos começar identificando o intercepto y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto y é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos x, ou seja, os valores de que fazem :
Rearranjando:
Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar valores inteiros. Testando :
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar a equação usando :
Então, as raízes são e (com multiplicidade 2). Portanto, os interceptos x são e .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos da função, que são onde a derivada é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Igualando a derivada a zero:
Agora, encontramos os valores de para e :
Para :
Para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes e pequenos de :
  • Para indo para :
  • Para indo para :
Isso nos indica que o gráfico desce para a direita e sobe para a esquerda.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Intercepto y em .
  2. Interceptos x em e .
  3. Ponto crítico em (máximo local) e (mínimo local).
  4. Comportamento da função: sobe à medida que vai para e desce à medida que vai para .

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta um máximo local em , intercepta-se no eixo y em , e intercepta-se no eixo x em e . O gráfico sobe à esquerda e desce à direita, refletindo o comportamento de uma função cúbica com coeficiente líder negativo. Assim, ao desenhar, conecte esses pontos considerando as tendências indicadas.

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