Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos fazer um esboço do gráfico da função
. Isso envolve desenhar o gráfico dessa função utilizando conceitos de álgebra, como interceptações, comportamento da função e pontos críticos. Para isso, vamos precisar conhecer como identificar interceptos, calcular derivadas para encontrar máximos e mínimos, e entender o comportamento da função para
grande e pequeno.
Passo 2
Vamos começar identificando o intercepto y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto y é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos x, ou seja, os valores de
que fazem
:
Rearranjando:
Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar valores inteiros. Testando
:
Testando
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar a equação usando
:
Então, as raízes são
e
(com multiplicidade 2). Portanto, os interceptos x são
e
.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos da função, que são onde a derivada é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero:
Agora, encontramos os valores de
para
e
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes e pequenos de
:
- Para
indo para :
- Para
indo para :
Isso nos indica que o gráfico desce para a direita e sobe para a esquerda.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepto y em
. - Interceptos x em
e . - Ponto crítico em
(máximo local) e (mínimo local). - Comportamento da função: sobe à medida que
vai para e desce à medida que vai para .
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta um máximo local em
, intercepta-se no eixo y em
, e intercepta-se no eixo x em
e
. O gráfico sobe à esquerda e desce à direita, refletindo o comportamento de uma função cúbica com coeficiente líder negativo. Assim, ao desenhar, conecte esses pontos considerando as tendências indicadas.