A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(b) Determine a solução geral da equação

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que aparece no estudo da acumulação de nebulosa no sistema solar. A equação é:
Aqui, , e são constantes reais maiores ou iguais a zero, e é uma função de . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, descobrir como varia com .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida com as suas derivadas. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica onde a gente reorganiza a equação para colocar todas as expressões com de um lado e todas as com do outro.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de forma a separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por e dividimos por :
Agora temos todos os termos com de um lado e os com do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e a integral do lado direito em relação a :
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Substituindo:
Voltando para :

Passo 5

Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Agora, isolamos :
Simplificando:
onde é uma nova constante.
Para encontrar , elevamos ambos os lados à sexta potência:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

(a) Qual é o valor de ? Qual é o seu significado?
Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Use o Teorema do Confronto para mostrar que , onde .
Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
a)