A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(b) Determine a solução geral da equação
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que aparece no estudo da acumulação de nebulosa no sistema solar. A equação é:
Aqui,
,
e
são constantes reais maiores ou iguais a zero, e
é uma função de
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, descobrir como
varia com
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida
com as suas derivadas. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica onde a gente reorganiza a equação para colocar todas as expressões com
de um lado e todas as com
do outro.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de forma a separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
:
Agora temos todos os termos com
de um lado e os com
do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e a integral do lado direito em relação a
:
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Agora, isolamos
:
Simplificando:
onde
é uma nova constante.
Para encontrar
, elevamos ambos os lados à sexta potência:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
(a) Qual é o valor de
? Qual é o seu significado?
Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Use o Teorema do Confronto para mostrar que
, onde
.
Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
a)
a)