Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a encontrar limites quando conseguimos “apertar” a função entre duas outras que têm o mesmo limite.
Passo 2
Vamos reescrever a expressão
como
. Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão conforme
vai para o infinito.
Passo 3
Observando a expressão
, percebemos que para grandes valores de
, o termo
domina sobre o
. Então, podemos dizer que
.
Passo 4
Agora, aplicamos a raiz n-ésima em todas as partes da desigualdade:
Passo 5
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos analisar os limites de
e
conforme
.
Sabemos que:
Então,
E,
Passo 7
Portanto, os limites das extremidades são ambos iguais a 1:
Resposta
Assim, pelo Teorema do Confronto, temos que:
Exercícios relacionados
Demonstre que para todo inteiro positivo
vale:
a) .
a)
(a) Qual é o valor de
? Qual é o seu significado?
A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(b) Determine a solução geral da equação