Use o Teorema do Confronto para mostrar que:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite de quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a encontrar limites quando conseguimos “apertar” a função entre duas outras que têm o mesmo limite.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão como . Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão conforme vai para o infinito.

Passo 3

Observando a expressão , percebemos que para grandes valores de , o termo domina sobre o . Então, podemos dizer que .

Passo 4

Agora, aplicamos a raiz n-ésima em todas as partes da desigualdade:

Passo 5

Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites de e conforme .
Sabemos que:
Então,
E,

Passo 7

Portanto, os limites das extremidades são ambos iguais a 1:

Resposta

Assim, pelo Teorema do Confronto, temos que:

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Demonstre que para todo inteiro positivo vale:
a) .
(a) Qual é o valor de ? Qual é o seu significado?
A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(b) Determine a solução geral da equação