Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
lim n infty raiz[n]n^2+n=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite de raiz[n]n^2+n quando n tende ao infinito. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a encontrar limites quando conseguimos “apertar” a função entre duas outras que têm o mesmo limite.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão raiz[n]n^2+n como (n^2+n)^1/n. Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão conforme n vai para o infinito.

Passo 3

Observando a expressão (n^2+n)^1/n, percebemos que para grandes valores de n, o termo n^2 domina sobre o n. Então, podemos dizer que n^2 <= n^2 + n <= n^2 + n^2 = 2n^2.

Passo 4

Agora, aplicamos a raiz n-ésima em todas as partes da desigualdade:
raiz[n]n^2 <= raiz[n]n^2+n <= raiz[n]2n^2

Passo 5

Simplificando cada termo:
raiz[n]n^2 = (n^2)^1/n = n^2/n
raiz[n]2n^2 = (2n^2)^1/n = 2^1/n cdot n^2/n

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites de n^2/n e 2^1/n conforme n to infty.
Sabemos que:
limn to infty n^1/n = 1
Então,
limn to infty n^2/n = (n^1/n)^2 = 1^2 = 1
E,
limn to infty 2^1/n = 1

Passo 7

Portanto, os limites das extremidades são ambos iguais a 1:
1 <= limn to infty raiz[n]n^2+n <= 1

Resposta

Assim, pelo Teorema do Confronto, temos que:
lim n infty raiz[n]n^2+n=1

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