Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência
é monótona ou não monótona. Isso faz parte do estudo de sequências na matemática, mais especificamente sobre comportamento das sequências (se estão crescendo, decrescendo ou misturando). Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre produtos de termos e fatoriais, além de comparar termos consecutivos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a sequência. O numerador
é o produto dos primeiros
números ímpares, o que a gente pode representar como
. O denominador é
, onde
é o fatorial de
.
Para verificar se a sequência é monótona, uma boa estratégia é comparar um termo com o próximo, ou seja, comparar
com
. Se sempre for maior, está crescendo; se sempre for menor, está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a razão
:
Agora, simplificamos essa expressão:
Vamos analisar o valor dessa fração:
- Se
, a sequência está crescendo. - Se
, a sequência está decrescendo.
Vamos simplificar mais:
Como
para todo
, isso significa que cada termo é menor que o anterior.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Confronto para mostrar que
, onde
.
A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(b) Determine a solução geral da equação
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.