Use o Teorema do Confronto para mostrar que , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. O problema pede para mostrarmos que:
onde . Para isso, vamos precisar entender como comparar com e usar limites para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o maior entre e . Sem perda de generalidade, vamos supor que . Assim, .

Passo 3

Agora, observamos que . Isso porque, já que , para todo .

Passo 4

Tomando a raiz -ésima em ambos os lados da desigualdade, temos:

Passo 5

Sabemos que , porque a raiz -ésima de um número constante tende a 1 conforme cresce.

Passo 6

Portanto, temos:

Passo 7

Por outro lado, , então:
Como , temos:

Passo 8

Agora, juntando as duas desigualdades:

Passo 9

Segundo o Teorema do Confronto, se uma sequência está “presa” entre dois valores que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite. Aqui, está entre e , que ambos tendem a . Logo:

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Confronto, mostramos que:

Exercícios relacionados

A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(b) Determine a solução geral da equação
(a) Qual é o valor de ? Qual é o seu significado?
Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
a)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.