Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim n infty raiz[n]a^n+b^n=max a, b, onde a, b >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. O problema pede para mostrarmos que:
lim n infty raiz[n]a^n+b^n=max a, b,
onde a, b >= 0. Para isso, vamos precisar entender como comparar raiz[n]a^n+b^n com maxa,b e usar limites para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o maior entre a e b. Sem perda de generalidade, vamos supor que a >= b. Assim, maxa, b = a.

Passo 3

Agora, observamos que a^n + b^n <= a^n + a^n = 2a^n. Isso porque, já que a >= b, b^n <= a^n para todo n.

Passo 4

Tomando a raiz n-ésima em ambos os lados da desigualdade, temos:
raiz[n]a^n + b^n <= raiz[n]2a^n = raiz[n]2 cdot raiz[n]a^n = raiz[n]2 cdot a

Passo 5

Sabemos que limn to infty raiz[n]2 = 1, porque a raiz n-ésima de um número constante tende a 1 conforme n cresce.

Passo 6

Portanto, temos:
limn to infty raiz[n]a^n + b^n <= limn to infty raiz[n]2 cdot a = 1 cdot a = a

Passo 7

Por outro lado, a^n <= a^n + b^n, então:
raiz[n]a^n <= raiz[n]a^n + b^n
Como raiz[n]a^n = a, temos:
a <= raiz[n]a^n + b^n

Passo 8

Agora, juntando as duas desigualdades:
a <= raiz[n]a^n + b^n <= a

Passo 9

Segundo o Teorema do Confronto, se uma sequência está “presa” entre dois valores que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite. Aqui, raiz[n]a^n + b^n está entre a e a, que ambos tendem a a. Logo:
limn to infty raiz[n]a^n + b^n = a = maxa, b

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Confronto, mostramos que:
limn infty raiz[n]a^n+b^n=max a, b

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