Use o Teorema do Confronto para mostrar que
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. O problema pede para mostrarmos que:
onde
. Para isso, vamos precisar entender como comparar
com
e usar limites para chegar à conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é o maior entre
e
. Sem perda de generalidade, vamos supor que
. Assim,
.
Passo 3
Agora, observamos que
. Isso porque, já que
,
para todo
.
Passo 4
Tomando a raiz
-ésima em ambos os lados da desigualdade, temos:
Passo 5
Sabemos que
, porque a raiz
-ésima de um número constante tende a 1 conforme
cresce.
Passo 6
Portanto, temos:
Passo 7
Por outro lado,
, então:
Como
, temos:
Passo 8
Agora, juntando as duas desigualdades:
Passo 9
Segundo o Teorema do Confronto, se uma sequência está “presa” entre dois valores que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite. Aqui,
está entre
e
, que ambos tendem a
. Logo:
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Confronto, mostramos que:
Exercícios relacionados
A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(b) Determine a solução geral da equação
(a) Qual é o valor de
? Qual é o seu significado?
Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
a)
a)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.