A seguinte expressão descreve a diferencial da entropia de um gás ideal com a temperatura e o volume variando reversivelmente:
d S=d Q rev T=CVT d T+n RV d V
© Multiplicando a expressão dada pela temperatura absoluta e usando novamente o critério de Euler verifique se a diferencial do calor reversível d Qr e v é, nesse caso particular, exata ou inexata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma expressão que descreve a diferencial da entropia ($ dS dS áíéã T T í dQ_{rev} $) resultante é uma diferencial exata ou não. Para isso, vamos usar o critério de Euler, que nos ajuda a verificar a exatidão de uma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a expressão dada pela temperatura $ T $. A expressão original é:
T
Multiplicando ambos os lados por $ T $:
dS = CVT dT + nRV dV
Como sabemos que $ dQ_{rev} = T dS $, podemos escrever:
T

Passo 3

Agora, vamos verificar se $ dQ_{rev} $ é uma diferencial exata. Uma diferencial da forma $ M dT + N dV $ é exata se satisfizer o seguinte critério de exatidão (ou critério de Euler):
dQrev
Aqui, identificamos:
M dT + N dV

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, $ \frac{\partial M}{\partial V} $:
Como $ C_V $ é uma constante para um gás ideal (não depende de $ V $), temos:
partial Mpartial V
Segundo, $ \frac{\partial N}{\partial T} $:
CV

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Mpartial V = 0 e partial Npartial T = nRV
Como $ 0 \neq \frac{nR}{V} $, as duas derivadas não são iguais. Isso significa que a diferenciação cruzada não coincide, o que indica que a diferencial não é exata.

Resposta

A diferencial do calor reversível $ dQ_{rev} $ é inexata nesse caso particular.

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