Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
a)
a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para calcularmos o divergente e a vorticidade de um campo de velocidade específico. Além disso, temos que identificar se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional (que resultam na vorticidade).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo de velocidade. O divergente mede a taxa na qual a quantidade de campo que está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo de velocidade
, o divergente é dado por:
No nosso caso,
, então a última derivada será zero.
Passo 3
Vamos derivar cada componente:
Agora, somando essas derivadas:
Passo 4
Como o divergente é zero, isso nos indica que o escoamento é incompressível. Um divergente nulo significa que não há variação na densidade do fluido; o fluido não está se comprimindo nem se expandindo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a vorticidade, que é o rotacional do campo de velocidade. A vorticidade nos dá uma ideia da rotação local do fluido. A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então, a vorticidade é:
Passo 6
Como a vorticidade não é zero (a menos que
), isso significa que o escoamento é rotacional. Um escoamento rotacional possui circulação local, ou seja, há rotação das partículas do fluido.
Quanto à natureza do escoamento ser transiente ou permanente, o enunciado não fornece informações sobre a variação no tempo. Assumindo que não há dependência temporal nos componentes do campo de velocidade, o escoamento é permanente (ou estacionário).
Resposta
O divergente do campo de velocidade é zero, indicando que o escoamento é incompressível. A vorticidade calculada é
, que não é zero, portanto o escoamento é rotacional. Além disso, como não há variação temporal nas componentes do campo, o escoamento é permanente.
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c)
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d)
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e)
e)
Água escoa a uma velocidade de
sobre uma placa plana de comprimento
. Considere dois casos, um no qual a temperatura da água é de aproximadamente 300 K e o outro para uma temperatura aproximada da água de 350 K . Nas regiões laminar e turbulenta, medidas experimentais mostram que os coeficientes convectivos locais são bem descritos pelas relações
nas quais
tem a unidade em m .
A 300 K,
enquanto a
Como está evidente, a constante depende da natureza do escoamento, assim como da temperatura da água, em função da dependência com a temperatura de várias propriedades do fluido.
Determine o coeficiente convectivo médio sobre a placa inteira para as duas temperaturas.
A 300 K,
enquanto a
Como está evidente, a constante
Determine o coeficiente convectivo médio sobre a placa inteira para as duas temperaturas.