Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
a) V=2 x^2 y imath-2 y^2 x jmath+0 widehatk

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para calcularmos o divergente e a vorticidade de um campo de velocidade específico. Além disso, temos que identificar se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional (que resultam na vorticidade).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo de velocidade. O divergente mede a taxa na qual a quantidade de campo que está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo de velocidade nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z , o divergente é dado por:
No nosso caso, , então a última derivada será zero.

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
  • partial Vxpartial x = partialpartial x (2x^2 y) = 4xy
    partial Vypartial y = partialpartial y (-2y^2 x) = -4xy
  • partial Vzpartial z = 0
    nabla cdot V = 4xy - 4xy + 0 = 0
Agora, somando essas derivadas:

Passo 4

Como o divergente é zero, isso nos indica que o escoamento é incompressível. Um divergente nulo significa que não há variação na densidade do fluido; o fluido não está se comprimindo nem se expandindo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a vorticidade, que é o rotacional do campo de velocidade. A vorticidade nos dá uma ideia da rotação local do fluido. A fórmula para o rotacional é:
nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z ) imath + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x ) jmath + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • Componente partial Vzpartial y - partial Vypartial z = 0 - 0 = 0 :
    partial Vxpartial z - partial Vzpartial x = 0 - 0 = 0
  • Componente partial Vypartial x - partial Vxpartial y = partial (-2y^2 x)partial x - partial (2x^2 y)partial y = -2y^2 - 2x^2 :
    nabla times V = 0imath + 0jmath + (-2y^2 - 2x^2)k = -2(x^2 + y^2)k
  • Componente :
Então, a vorticidade é:

Passo 6

Como a vorticidade não é zero (a menos que ), isso significa que o escoamento é rotacional. Um escoamento rotacional possui circulação local, ou seja, há rotação das partículas do fluido.
Quanto à natureza do escoamento ser transiente ou permanente, o enunciado não fornece informações sobre a variação no tempo. Assumindo que não há dependência temporal nos componentes do campo de velocidade, o escoamento é permanente (ou estacionário).

Resposta

O divergente do campo de velocidade é zero, indicando que o escoamento é incompressível. A vorticidade calculada é , que não é zero, portanto o escoamento é rotacional. Além disso, como não há variação temporal nas componentes do campo, o escoamento é permanente.

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